Dirichlet integral

Faisons un peu d’analyse complexe.
Pour $r>0$ on définit le chemin $\gamma_{r}$ paramétré par $\gamma_{r}(t)=re^{it}$ pour $t\in [-\pi/2, \pi/2]$

Lemme: Pour $f$ une fonction continue sur $\mathbb{C}$ on a
$$\underset{r\to 0}{\lim}\int_{\gamma_{r}}\frac{f(z)}{z}dz=i\pi f(0)$$En effet par définition,
$$\int_{\gamma_{r}}\frac{f(z)}{z}dz=\int_{-\pi2}^{\pi/2}\frac{f(re^{it})}{re^{it}}ire^{it}dt=i\int_{-\pi2}^{\pi/2}f(re^{it})dt$$

donc en passant à la limite grâce au théorème de convergence dominée on a le résultat.

Soient maintenant $0<r<R$.
On définit $\gamma$ par $\gamma=\gamma_{R}\sqcup[iR, ir]\sqcup (-\gamma_{r})\sqcup[-ir, -iR]$ où $[a,b]$ désigne le segment joignant $a$ à $b$ et $(-\gamma_{r})$ le chemin $\gamma_{r}$ parcouru en sens inverse.
Puisque $\displaystyle f:z\mapsto \frac{e^{-z}}{z}$ est holomorphe sur le domaine intérieur à $\gamma$ on a
$$\int_{\gamma}\frac{e^{-z}}{z}dz=0$$

Or
$$\begin{align*}\int_{\gamma}\frac{e^{-z}}{z}dz&=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{[iR, ir]}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{[-ir, -iR]}\frac{e^{-z}}{z}dz-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz\\ &=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+\int_{R}^{r}\frac{e^{-it}}{it}idt+\int_{-r}^{-R}\frac{e^{-it}}{it}idt-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz\\ &=\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+2i\int_{r}^{R}\frac{\sin(t)}{t}dt-\int_{\gamma_{r}}\frac{e^{-z}}{z}dz \end{align*}$$

Ainsi d’après le lemme, puisque $z\mapsto e^{-z}$ est continue et que $\displaystyle t\mapsto \frac{\sin(t)}{t}$ est prolongeable par continuité en $0$, on a en passant à la limite quand $r\to 0$
$$\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz+2i\int_{0}^{R}\frac{\sin(t)}{t}dt=i\pi \qquad (1)$$

Pour finir il nous reste à remarquer que
$$\underset{R\to 0}{\lim}\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz=0 \qquad (2)$$En effet,
$$\left|\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz\right|=\left|\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-Re^{it}}dt \right|\le \int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dt$$et pour $0<\varepsilon <\pi/4$ fixé,
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dt=\int_{-\pi/2}^{-\pi/2+\varepsilon}e^{-R\cos(t)}dt+\int_{-\pi/2+\varepsilon}^{\pi/2-\varepsilon}e^{-R\cos(t)}dt+\int_{-\pi/2-\varepsilon}^{\pi/2}e^{-R\cos(t)}dt\le 2\varepsilon+(\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}$$

mais $(\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}=(\pi-2\varepsilon )e^{-R\sin(\varepsilon)}\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0$

donc il existe $R_{0}>0$ tel que $\forall R>R_{0}, (\pi-2\varepsilon )e^{-R\cos(\pi/2-\varepsilon)}\le \varepsilon$
Ainsi pour tout $R>R_{0}$,
$$\left|\int_{\gamma_{R}}\frac{e^{-z}}{z}dz\right|\le 3\varepsilon$$ce qui prouve $(2)$.

Pour conclure on passe à la limite quand $R\to +\infty$ dans $(1)$ ce qui nous donne
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}$$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+$ par :
$$f(t) = \text{Im} \int_0^{+\infty} e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \, dx = \int_0^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin x}{x} \, dx$$

L’intégrale est bien définie. En effet, $x \mapsto e^{-tx}$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ pour $t > 0$, et la fonction $x \mapsto \frac{\sin x}{x}$ est majorée (elle se prolonge par continuité en $0$ et tend vers $0$ en $+\infty$).

Soit $t \in \mathbb{R}_+^*$. Montrons que $f$ est dérivable sur cet intervalle en utilisant le théorème de dérivation sous le signe intégral :
$$\left| \frac{\partial}{\partial t} \left( e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \right) \right| = \left| -x e^{-tx} \frac{e^{ix}}{x} \right| = e^{-tx}$$Pour tout $a > 0$ et pour tout $t \ge a$, on a la domination $e^{-tx} \le e^{-ax} \in L^1(\mathbb{R}_+)$.
Ainsi, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et sa dérivée s’obtient en dérivant sous l’intégrale :
$f'(t)=-\text{Im} \left[ \frac{1}{-t+i} e^{(-t+i)x} \right]_0^{+\infty}$
Puisque $\lim_{x \to +\infty} e^{-tx} = 0$ pour $t > 0$, la borne en $+\infty$ s’annule. On obtient alors : $f'(t) = -\frac{1}{1+t^2}$

En intégrant la relation précédente, on en déduit qu’il existe une constante $C \in \mathbb{R}$ telle que pour tout $t > 0$ :
$$f(t) = -\arctan(t) + C$$

Déterminons la constante $C$ en étudiant la limite quand $t \to +\infty$.
Par le théorème de convergence dominée (TCD), la fonction intégrande tend vers $0$ et elle est dominée, par exemple pour $t \ge 1$, par $x \mapsto e^{-x}$ qui est dans $L^1(\mathbb{R}_+)$. Par conséquent :
$$\lim_{t \to +\infty} f(t) = 0$$

Par unicité de la limite, on trouve :
$$-\frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$$

Ainsi, pour tout $t > 0$, $f(t) = \frac{\pi}{2} - \arctan(t)$.

Puisque $f$ est continue en $0$ :
$$f(0) = \lim_{t \to 0^+} f(t) = \frac{\pi}{2} = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \, dx$$