Divisibilité d’entiers consécutifs

We have the relation $nu+(n-1)v=1$ for $u=1$ and $v=-1$. It is hence a Bezout relation between $n$ and $n-1$ that proves that these integers have gcd $1$.
Hence $n-1$ divides $n$ if, and only if, $n-1=1$ (so $n=2$) of $n-1=n$, which is not possible.

The answer is thus $2$.

Intuitivement, en essayant avec des exemples, par exemple : "est-ce que 6 divise 7 ?", ou "est-ce que 127 divise 128 ?", on sent bien que $n-1$ est beaucoup trop grand pour être un diviseur de $n$.
Sauf lorsque $n=2$, auquel cas $n-1=1$ divise bien $n$...

Comment confirmer cette intuition ? Supposons que $n-1$ divise $n$, c’est-à-dire qu’il existe un entier $k$ tel que :
$$k(n-1)=n.$$Or, $k$ est supérieur ou égal à $2$ ; donc $n=k(n-1)\geq 2(n-1)=2n-2$.

Il suffit donc de se demander quand $n$ est supérieur ou égal à $2n-2$. En passant le $n$ de l’autre côté de l’inégalité, cette condition est équivalente à $n\leq 2$, ce qui est bien le résultat attendu !