D’une figure rectiligne à un carré de même aire

1. Construire le point $I$ dans le prolongement de $[GH]$ tel que $HI=GE=HF$ (un simple cercle de centre $H$ et de rayon $HF$ suffit pour déterminer ce point).

Soit $J$ milieu de $GI$.

Construire le cercle de centre $J$ et de rayon $JI$. Soit $K$ l’intersection de ce cercle avec la demi-droite $(HF)$.

Un carré de côté $HK$ répond à la question posée, comme nous allons le prouver ci-dessous

Observation la configuration des quatres points alignés $G$, $J$, $H$ et $I$. Nous avons un segment $[GI]$ avec son milieu $J$, et un point $H$ décopant ce segment. Dans cette configuration particulière, nous pouvons montrer l’égalité des aires suivante : la somme des aires du rectangle de côtés $GH$ et $HI$ et du carré de côté $JH$ est égale à l’aire du carré de côté $JI$ (1)
(pour la démonstration de cette égalité dans cette configuration précise, voir le problème Un rectangle, deux carrés… et une égalité d’aires remarquable).

En notant que, par construction du point $K$, on a $JI=JK$, et que par définition du point $I$ on a $HI=GE$, la relation (1) devient : la somme des aires du rectangle de côtés $GH$ et $GE$ et du carré de côté $JH$ est égale à l’aire du carré de côté $JK$ (2)

Appliquons la relation de Pythagore au triangle $JHK$, rectangle en $H$ : l’aire du carré de côté $JK$ est égale à la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $JH$ et $HK$.
En injectant cette égalité dans la relation (2), nous obtenons donc que la somme des aires du rectangle de côtés $GH$ et $GE$ et du carré de côté $JH$ est égale à la somme des aires des deux carrés de côtés respectifs $JH$ et $HK$ (3).

Nous pouvons soustraire aux deux membres de l’égalité (3) l’aire du carré de côté $JH$, pour obtenir la relation finale: l’aire du carré de côté $HK$ est égale à l’aire du rectangle de côtés $GH$ et $GE$ (4).
Ce qu’il fallait démontrer

2. Il s’agit donc de construire un carré de même aire que le quadrilatère $ABCD$ .

Dans la question précédente, nous avons proposé une méthode de construction permettant de passer d’un rectangle $EFHG$ à un carré de même aire, son côté étant $HK$.

Il reste donc à proposer la construction d’un rectangle $EFGH$ d’aire identique à celle d’un quadrilatère $ABCD$. Celle-ci peut être effectuée grâce aux étapes suivantes (pour le détail de cette construction, voir le problème Construction d’un parallélogramme : angle donné, aire d’un quadrilatère) : partage du quadrilatère en deux triangles $ABC$ et $ACD$, puis construction de deux parallélogrammes, ayant chacun un angle droit (donc rectangles), et de même aire que chacun des deux triangles. La mise bout à bout des deux rectangles nous donne un rectangle de même aire que celle du quadrilatère (pour des raisons de lisibilité de la figure, ce rectangle a été ensuite déplacé vers la droite et pivoté, pour devenir le rectangle $EFHG$ de la question 1 ).

3. Avec $EF=a$ , $GE=b$, et $HK=x$, la relation (4) entre les aires , obtenue dans la première question, devient :

                                             $\bf x^{2}=a\times b$
   

Par cette égalité, $x$ est donc bien la moyenne géométrique de $a$ et $b$ et l’expression de x est

                                           $\bf x=\sqrt {a\times b}$