Un rectangle, deux carrés… et une égalité d’aires remarquable

Soient un segment $[AB]$ , $C$ milieu de $AB$ et $D$ un point quelconque sur $[CB]$ .

Montrer que la somme des aires d’un rectangle de côtés $AD$ et $DB$ , et d’un carré de côté $CD$ , est égale à l’aire d’un carré de côté $AC$ .
Si on pose $AC=a$ et $CD=b$ , écrire l’identité remarquable algébrique liant a et b, et reproduisant la relation géométrique démontrée précédemment.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Eléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination "algèbre géométrique" souvent utilisée pour parler du livre II des Eléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations "géométriques".

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Euclide — Éléments

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Livre II - Proposition 5

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Solution by goldfinch

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Construire sur $[CB]$ le carré $CBFE$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).
Construire le point $G$ , intersection de $(EF)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par $D$ .
Construire le point $H$ , intersection de $(GD)$ avec la diagonale $(EB)$ .
Construire les points $I$ et $K$ , intersections de la droite parallèle à $(CB)$ passant par $H$ avec respectivement $(BF)$ et $(CE)$ .
Construire le point $L$ , intersection de $(KI)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par A.
(Pour la construction de toutes ces parallèles, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Dans cette configuration du grand carré $CBFE$ , nous reconnaissons en $CDHK$ et $HIFG$ deux parallélogrammes rectangles complémentaires en H, de côtés $CD$ et $DB$ , qui sont superposables et donc égaux en aire (pour la reconnaissance de la configuration du carré $CBFE$ , voir le problème Ce que révèle un découpage judicieux d’un carré , et pour la démonstration de l’égalité des aires des rectangles complémentaires, voir le problème Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point), soit : $\bf [CDHK]=[HIFG]$ (1)

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (1) l’aire du carré $DBIH$ de côté $DB$ , pour obtenir : $[CDHK]+[DBIH]=[DBIH]+ [HIFG]$
ou encore : $\bf [CBIK]=[DBFG]$ (2)

Comme $C$ est milieu de $[AB]$ , les deux rectangles $ACKL$ et $CBIK$ de côtés $AC$ et $DB$ ont même aire : $[CBIK]=[ACKL]$

Ainsi (2) permet d’écrire : $\bf [ACKL]=[DBFG]$ (3)

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (3) l’aire du rectangle $CDHK$ de côtés $CD$ et $DB$ , pour obtenir : $[ACKL]+[CDHK]=[CDHK]+[DBFG]$
ou encore : $\bf [ADHL]=[CDHK]+[DBFG]$ (4)
avec $ADHL$ rectangle de côtés $AD$ et $DB$ .

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (3) l’aire du carré $KHGE$ de côté $CD$ , pour obtenir : $[ADHL]+[KHGE]=[CDHK]+[DBFG]+[KHGE]$
avec le second terme qui représente l’aire du carré $CBFE$ de côté $CB$ , qui est lui-même égal à $AC$ , vu que $C$ est le milieu de $[AB]$ ,
d’où l’on tire : $\bf [ADHL]+[KHGE]=[CBEF]$ (5)

La relation (5) avec $ADHL$ rectangle de côtés $AD$ de $DB$ , $KHGE$ carré de côté $CD$ , et $CBEF$ carrré de côté $AC$ , répond donc bien à la question posée

Si on pose $AC=a$ et $CD=b$ , alors :
$[ADHL]=(a+b)\times (a-b)$ ,
$[KHGE]=b^2$
$[CBEF]=a^{2}$

La relation (5) s’écrit donc : $(a+b)\times (a-b)+b^2=a^2$
ou encore : $\bf (a+b)\times (a-b)=a^2-b^2$

La relation (5) exprime donc une identité algébrique remarquable de manière géométrique.

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