Un rectangle, deux carrés… et une égalité d’aires remarquable

1. Construire sur $[CB]$ le carré $CBFE$ (pour cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).
   Construire le point $G$ , intersection de $(EF)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par $D$.
   Construire le point $H$ , intersection de $(GD)$ avec la diagonale $(EB)$.
   Construire les points $I$ et $K$, intersections de la droite parallèle à $(CB)$ passant par $H$ avec respectivement $(BF)$ et $(CE)$.
   Construire le point $L$, intersection de $(KI)$ avec la parallèle à $(BF)$ passant par A.
   (Pour la construction de toutes ces parallèles, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Dans cette configuration du grand carré $CBFE$, nous reconnaissons en $CDHK$ et $HIFG$ deux parallélogrammes rectangles complémentaires en H, de côtés $CD$ et $DB$, qui sont superposables et donc égaux en aire (pour la reconnaissance de la configuration du carré $CBFE$, voir le problème Ce que révèle un découpage judicieux d’un carré , et pour la démonstration de l’égalité des aires des rectangles complémentaires, voir le problème Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point), soit : $\bf [CDHK]=[HIFG]$ (1)

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (1) l’aire du carré $DBIH$ de côté $DB$, pour obtenir : $[CDHK]+[DBIH]=[DBIH]+ [HIFG]$
ou encore : $\bf [CBIK]=[DBFG]$ (2)

Comme $C$ est milieu de $[AB]$, les deux rectangles $ACKL$ et $CBIK$ de côtés $AC$ et $DB$ ont même aire : $[CBIK]=[ACKL]$

Ainsi (2) permet d’écrire : $\bf [ACKL]=[DBFG]$ (3)

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (3) l’aire du rectangle $CDHK$ de côtés $CD$ et $DB$ , pour obtenir : $[ACKL]+[CDHK]=[CDHK]+[DBFG]$
ou encore : $\bf [ADHL]=[CDHK]+[DBFG]$ (4)
avec $ADHL$ rectangle de côtés $AD$ et $DB$.

Nous pouvons ensuite rajouter aux deux termes de l’égalité (3) l’aire du carré $KHGE$ de côté $CD$ , pour obtenir : $[ADHL]+[KHGE]=[CDHK]+[DBFG]+[KHGE]$
avec le second terme qui représente l’aire du carré $CBFE$ de côté $CB$, qui est lui-même égal à $AC$, vu que $C$ est le milieu de $[AB]$,
d’où l’on tire : $\bf [ADHL]+[KHGE]=[CBEF]$ (5)

La relation (5) avec $ADHL$ rectangle de côtés $AD$ de $DB$, $KHGE$ carré de côté $CD$, et $CBEF$ carrré de côté $AC$ , répond donc bien à la question posée

2. Si on pose $AC=a$ et $CD=b$, alors :
   $[ADHL]=(a+b)\times (a-b)$ ,
   $[KHGE]=b^2$
   $[CBEF]=a^{2}$

La relation (5) s’écrit donc : $(a+b)\times (a-b)+b^2=a^2$
ou encore : $\bf (a+b)\times (a-b)=a^2-b^2$

La relation (5) exprime donc une identité algébrique remarquable de manière géométrique.