Ce que révèle un découpage judicieux d'un carré

Soient un segment $[AB]$ et un point quelconque $C$ sur ce segment

Montrer que l’aire d’un carré de côté $AB$ est égale à la somme des aires, de deux aires de carrés de côtés $AC$ et $CB$ d’une part, et de deux fois l’aire d’un rectangle de côtés $AC$ et $CB$ d’autre part.
Si on pose $AC=a$ et $CB=b$ , écrire l’identité remarquable liant $a$ et $b$ , et reproduisant la relation géométrique démontrée précédemment.

Une figure désignée par ses sommets, par exemple $ABCD$ , désigne la figure elle-même ; $[ABCD]$ désigne son aire.
La seconde question est une interprétation « moderne », algébrique, de cette proposition des Éléments d’Euclide qui, à l’origine, était exprimée de façon purement géométrique. Cette interprétation est à l’origine de la dénomination « algèbre géométrique » souvent utilisée pour parler du livre II des Éléments d’Euclide, signifiant par là que des nombres liés par une relation algébrique entretiennent aussi entre eux des relations « géométriques ».

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Euclide — Éléments

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Livre II - Proposition 4

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Solution by goldfinch

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NB : dans un souci de clarté, seuls les traits de construction principaux ont été conservés dans la figure ci-dessous

Construire le carré $ABDE$ de côté $AB$ sur le segment $[AB]$ (pour le détail de cette construction, voir le problème Construction d’un carré sur un segment).

Construire le point $F$ , intersection de $(ED)$ avec la parallèle à $(BD)$ passant par $C$ (pour la construction de cette parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).
Soit G l’intersection de $(CF)$ avec la diagonale $(EB)$ .

Construire les point $H$ et $I$ , intersections de la parallèle à $(AB)$ passant par $G$ avec, respectivement, $(AE)$ et $(BD)$ (pour la construction de la parallèle, voir le problème Comment construire une parallèle à une droite donnée ?).

Montrons d’abord que $\textbf {les quadrilatères GIBC et EFGH sont bien des carrés}$ .

$GIBC$ est un parallélogramme car il est construit entre des parallèles : $(CG)$ parallèle à $(BI)$ et $(CB)$ parallèle à $(GI)$ par construction.
Ensuite, le triangle $ABE$ est isocèle par définition du carré $ABDE$ donc d’une part $AB=AE$ et d’autre $\widehat {AEB}=\widehat {ABE}=\widehat {CBG}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?).

Par ailleurs, la diagonale $(EB)$ coupant les deux parallèles $(AE)$ et $(CF)$ , il y aura égalité des angles $\widehat {AEB}$ et $\widehat {CGB}$ (pour la démonstration de ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles) ; on peut ainsi en conclure que $\widehat {CGB}=\widehat {CBG}$ , et donc aussi que le triangle $CBG$ est isocèle et que les deux côtés $CG$ et $CB$ sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux angles égaux...et les côtés ?).

Enfin, si l’on considére les deux parallèles $(CF)$ et $(BD)$ coupées par $(AB)$ , nous pouvons montrer que la somme des deux angles $\widehat {GCB}$ et $\widehat {CBI}$ est égale à deux angles droits (pour ce point, voir le problème Quand des parallèles révèlent des angles). Par suite, comme $\widehat {CBI}$ est un angle droit par définition du carré $ABDE$ , l’angle $\widehat {GCB}$ sera un angle droit aussi. Les angles opposé d’un parallélogramme étant égaux, on peut en conclure que les 4 angles de $CBIG$ sont des angles droits.
$CBIG$ est donc bien un carré.

Un raisonnement en tous points identique peut être mené pour le quadrilatère $EFGH$ , qui permet de démontrer que $EFGH$ est un carré aussi.

Montrons maintenant que $\textbf {les quadrilatères HGCA et FDIG sont des rectangles égaux}$ .

Ces deux quadrilatères étant construits entre des lignes parallèles, ils sont donc des parallélogrammes.
De par leur construction autour du point G de la diagonale du grand parallélogramme $ABDE$ , ils sont des paraléllogrammes complémentaires en G, superposables, et ont donc même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Une propriété des parallélogrammes complémentaires en un point).

Par ailleurs, les angles $\widehat {HAC}$ et $\widehat {FDI}$ sont des angles droits par définition du carré $ABDE$ , donc les deux parallélogrammes sont bien des rectangles, et leurs côtés sont de longueur $AC$ et $CB$ .

Ainsi, nous avons bien la relation entre les aires suivantes :
$\bf [ABDE]=[EFGH]+[GIBC]+2\times [HGCA]$ (1)
avec :
$ABDE$ un carré de côté $AB$
$EFGH$ un carré de côté $AC$
$GIBC$ un carré de côté $CB$
$AFIG$ un rectangle de côtés $AC$ et $CB$ , ce qu’il fallait démontrer.

Si on pose $AC=a$ et $CB=b$ , la relation (1) devient : $\bf (a+b)^2=a^2+b^2+2\times a\times b$

La relation (1) exprime donc bien une identité remarquable algébrique de manière géométrique.

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