Un triangle avec deux angles égaux...et les côtés ?

Les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACB}$ sont considérés égaux : $\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$ (1).
Il faut montrer que les deux côtés $AB$ et $BC$ sont égaux (condition du triangle isocèle en $B$).

Faisons un raisonnement par l’absurde : supposons que les deux côtés $AB$ et $BC$ ne soient pas égaux et que par exemple $AB$ est plus grand que $BC$ (le raisonnement est exactement le même pour le cas où $AB$ serait plus petit que $BC$), et montrons que cette situation comporte une contradiction.

Si $AB$ est plus grand que $BC$, on peut construire un point $D$ sur $AB$ tel que $AD=BC$ (2) (pour construire ce point, voir le problème Comment reporter une longueur sur un segment . Noter que tous les traits de construction du point D ont été laissés en arrière-plan).

Raisonnons maintenant sur les deux triangles $ADC$ et $ABC$. Ces deux triangles, par l’hypothèse (1), ont un de leurs angles qui est identique : $\widehat{DAC}=\widehat{ACB}$.
Par ailleurs les deux côtés correspondant à ces deux angles sont égaux 2 à 2 : un côté commun $AC$ et deux côtés de même longueur par hypothèse (2) : $AD=BC$.
Il en découle que les deux triangles $ADC$ et $ABC$ doivent être superposables (pour démontrer ce point, voir le problème Deux côtés avec leur angle suffisent-ils pour le triangle ? ).

Ces deux triangles ne sont pas superposables vu que l’un est inscrit dans l’autre par construction.
Donc, les deux côtés $AB$ et $BC$ ne peuvent être de longueur différente : $AB=BC$ , et donc le triangle est isocèle en A.

On ajoute $H$, l’intersection de la hauteur issue de $A$ avec la droite $BC$. Ainsi, dans le triangle $ABH$, la trigonométrie nous donne que $AB=\frac{AH}{\sin(\widehat{ABC})}$.

Mais on peut aussi utiliser la formule pour $ACH$ et trouver que $AC=\frac{AH}{\sin(\widehat{ACB})}$. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ étant égaux, on trouve $AB=AC$ et cela conclut.