Une propriété du triangle avec deux angles égaux

Il faut montrer que les deux côtés $AB$ et $AC$ sont égaux (condition du triangle isocèle en $A$).
Faisons un raisonnement par l’absurde : supposons que les deux côtés ne soient pas égaux et que par exemple $AB$ est plus grand que $AC$.

Si $AB$ est plus grand que $AC$, on peut construire un point $D$ sur $AB$ tel que $DB=AC$ (pour le démontrer, voir le problème "Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2)".

Raisonnons maintenant sur les deux triangles $DBC$ et $ABC$. Ces deux triangles, par définition, ont un de leurs angles qui est identique : $\widehat{DBC}=\widehat{ACB}$. Par ailleurs les deux côtés correspondant à ces deux angles sont égaux 2 à 2 : $DB=AC$ par comme vu ci-dessus et même base $BC$. Il en découle que les deux triangles $DBC$ et $ABC$ sont égaux (pour démontrer ce point, voir le problème "Egalité de triangles").

Ces deux triangles ne peuvent être égaux vu que l’un est inscrit dans l’autre par construction
Donc, les deux côtés $AB$ et $AC$ ne peuvent être de longueur différente : $AB=AC$ , et donc le triangle est isocèle en A

On ajoute $H$, l’intersection de la hauteur issue de $A$ avec la droite $BC$. Ainsi, dans le triangle $ABH$, la trigonométrie nous donne que $AB=\frac{AH}{\sin(\widehat{ABC})}$.

Mais on peut aussi utiliser la formule pour $ACH$ et trouver que $AC=\frac{AH}{\sin(\widehat{ACB})}$. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ACB}$ étant égaux, on trouve $AB=AC$ et cela conclut.