Même aire pour des parallélogrammes « complémentaires »

Soit un parallélogramme $ADCB$ et un point I quelconque positionné sur la diagonale $[AC]$ du parallélogramme. Ce point I permet de construire deux nouveaux parallélogrammes $EIHB$ et $GDFI$ en traçant deux droites, d’une part $(GH)$ parallèle à $(AB)$ passant par $I$ , et dautre part $(EF)$ parallèle à $(AD)$ passant par $I$ .

Montrer que les deux parallélogrammes $EIHB$ et $GDFI$ , que par commodité nous proposons de qualifier de « complémentaires », ont la même aire, soit : $[EIHB]=[GDFI]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notation $[ABCD]$ et $[ABC]$ pour noter les aires respectives du parallélogramme $ABCD$ et du triangle $ABC$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 43

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Solution by goldfinch

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Nous allons utiliser trois fois successivement une même propriété : quand une diagonale de parallélogramme coupe celui-ci en deux triangles, ces deux triangles auront la même aire (pour la démonstration de cette propriété, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux)

Première utilisation de cette propriété avec $ADBC$ coupé en deux triangles $ABC$ et $ADC$ de même aire : $\bf [ABC]=[ADC]$ (1)

Deuxième utilisation de cette propriété avec $IFCH$ coupé en deux triangles $IHC$ et $IFC$ de même aire : $\bf [IHC]=[IFC]$ (2)

Troisième utilisation de cette propriété avec $AGIE$ coupé en deux triangles $AEI$ et $AGI$ de même aire : $\bf [AEI]=[AGI]$ (3)

Notons en plus les égalités d’aires suivantes :
$\bf [ADC]=[GDFI]+[IFC]+[AGI]$ (4)

                                                         $\bf [ABC]=[EIHB]+[IHC]+[AEI]$                      (5)

Ce qui , couplé avec (1), (2) et (3) nous donne bien l’égalité recherchée : $\bf EIHB=GDFI$

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