Même aire pour des parallélogrammes « complémentaires »

Nous allons utiliser trois fois successivement une même propriété : quand une diagonale de parallélogramme coupe celui-ci en deux triangles, ces deux triangles auront la même aire (pour la démonstration de cette propriété, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux)

Première utilisation de cette propriété avec $ADBC$ coupé en deux triangles $ABC$ et $ADC$ de même aire : $\bf [ABC]=[ADC]$ (1)

Deuxième utilisation de cette propriété avec $IFCH$ coupé en deux triangles $IHC$ et $IFC$ de même aire : $\bf [IHC]=[IFC]$ (2)

Troisième utilisation de cette propriété avec $AGIE$ coupé en deux triangles $AEI$ et $AGI$ de même aire : $\bf [AEI]=[AGI]$ (3)

Notons en plus les égalités d’aires suivantes :
$\bf [ADC]=[GDFI]+[IFC]+[AGI]$ (4)

                                                        $\bf [ABC]=[EIHB]+[IHC]+[AEI]$                     (5)

Ce qui , couplé avec (1), (2) et (3) nous donne bien l’égalité recherchée : $\bf EIHB=GDFI$