Construction d’un parallélogramme : angle donné, aire d’un quadrilatère

Découper le quadrilatère en deux triangles $ABC$ et $ACD$ en traçant le segment $[AC]$. La construction se fera en trois étapes distinctes : construction d’un parallélogramme ayant la même aire que le triangle $ABC$ et ayant un de ses angles égal à $α$, puis construction sur la même base d’un autre parallélogramme ayant la même aire que le triangle $ACD$ et ayant aussi un de ses angles égal à $α$, et enfin démonstration que le parallélogramme constitué par la mise bout à bout des deux précédents répond à la question.

1. Construire sur la droite $(AC)$ un parallélogramme $EFGC$ ayant un de ses angles égal à $α$ et de même aire que le premier triangle $ABC$ (pour le détail de cette construction , voir le problème Construction d’un parallélogramme d’angle donné, égal en aire à un triangle).
   Nous avons donc : $\bf [EFGC]=[ABC]$ (1)
   NB : rappelons que cette construction se fait à partir du point $E$, milieu de $AC$, du point $F$ intersection de la droite faisant un angle par rapport à $(AC)$ avec la droite parallèle à $(AC)$ passant par $B$, et du point $G$ intersection de $(FB)$ avec la parallèle à $(EF)$ passant par $C$ .

2. La deuxième partie de la construction est identique à la première, en prenant le second triangle $ACD$ comme figure initiale.

Construire un parallélogramme $CIHE$ ayant son angle $\widehat {CIH}$ égal à $α$, et de même aire que le second triangle $ACD$. Nous avons donc : $\bf [CIHE]=[ACD]$ (2)
(pour le détail de cette construction aussi , voir le problème Construction d’un parallélogramme d’angle donné, égal en aire à un triangle).

3. Il reste à montrer que $FGIH$ est un parallélogramme qui répond au problème posé, c’est-à dire d’une part qu’il est bien un parallélogramme , d’autre part qu’il a un de ses angles égal à $α$ et enfin qu’il y a bien égalité des aires $[FGIH]=[ABCD]$.

$(FG)$ est parallèle à $(AC)$ par construction donc la somme des angles $\widehat {FEC}$ et $\widehat {GCE}$ est égale à deux angles droits (voir problème Quand des parallèles révèlent des angles). Au sommet C, on retrouve cette même somme d’angles, qui vaut donc deux angles droits, et dont on déduit donc que les points GCI sont alignés (voir problème Deux angles adjacents... que font les droites ?).

$(GI)$ est parallèle à $(FE)$ par construction donc les angles alternes-internes obtenus en coupant ces deux droites par la droite $(AC)$ sont égaux, ainsi $\widehat {HEC}=\widehat {GCE}$ (voir problème Quand des parallèles révèlent des angles). On en déduit donc à nouveau que la somme des deux angles en E est égale à deux angles droits, et conséquent que $F$, $E$ et $H$ sont alignés.

Par ailleurs $(FG)$ est parallèle à $(EC)$ qui est parallèle à $(HI)$, et $FG=EC=HI$ par construction, on en déduit donc que $FGIH$ est bien un parallélogramme (voir problème Deux segments égaux et parallèles... naissance du parallélogramme ?) .

Ce parallélogramme contient bien l’angle $α$ en $\widehat {IHE}$ étant donné le parallélisme de $(HI)$ et $(EC)$.

Enfin, le parallélogramme $FGIH$ est constitué des deux parallélogrammes $FGCE$ et $ECIH$ donc on peut écrire l’égalité des aires suivantes : $\bf [FGIH]=[FGCE]+[ECIH]$ ce qui, couplé avec (1) et (2) nous donne : $\bf [FGIH]=[ABC]+[ACD]$.

La construction répond donc bien à la question posée.