Eisenstein’s criterion

On suppose que $P$ n’est pas irréductible sur $\mathbb{Q}[X]$, donc sur $\mathbb{Z}[X]$.

Il existe donc $A,B\in\mathbb{Z}[X]$ non constants tels que

$$P=A\times B.$$

On utilise les notations

$$A=\sum_{i=0}^{r}a_iX^i \qquad\text{et}\qquad B=\sum_{j=0}^{s}b_jX^j.$$

On a

$$p\mid p_0=a_0b_0.$$

On peut donc supposer, sans perte de généralité, que

$$p\mid a_0 \qquad\text{et}\qquad p\nmid b_0,$$

car sinon $p^2\mid p_0$, ce qui est exclu.

Montrons par l’absurde que $p$ ne peut pas diviser tous les $a_i$.

En effet, si pour tout $i$, $p\mid a_i$, alors

$$p\mid \operatorname{dom}(A)\operatorname{dom}(B)=p_n,$$

ce qui est exclu.

On note ainsi $i_0$ le plus petit entier tel que

$$p\nmid a_{i_0}.$$

On a $i_0<n$ car $B$ est non constant.

Or,

$$p_{i_0} = \underbrace{a_{i_0}b_0}_{\text{non divisible par }p} + \underbrace{a_{i_0-1}b_1+\cdots+a_0b_{i_0}}_{\text{divisible par }p}.$$

En effet, par définition de $i_0$, on a

$$p\mid a_0,\ldots,a_{i_0-1},$$

et donc tous les termes de la seconde accolade sont divisibles par $p$. En revanche,

$$p\nmid a_{i_0}b_0$$

car $p\nmid a_{i_0}$ et $p\nmid b_0$.

Ainsi,

$$p\nmid p_{i_0},$$

ce qui est absurde puisque $i_0<n$ et que, par hypothèse,

$$p\mid p_0,\ldots,p_{n-1}.$$

Donc $P$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.