Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Hilbert and pre-Hilbert spaceExerciseUnreviewed

Ensemble des produits scalaires de Rn\R^{n} et de Cn\C^{n}

by darktoaster·
30
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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1)\textbf{1)} Montrer que φ\varphi est un produit scalaire de Rn\R^n si et seulement s’il existe une matrice symétrique définie positive A∈Sn++(R)A \in \mathcal{S}_{n}^{++}(\R) telle que ∀x,y∈R,φ(x,y)=xTAy\forall x, y \in \R, \varphi(x,y) = x^{T} A y.
\newline
2)\textbf{2)} Montrer que φ\varphi est un produit scalaire de Cn\C^n si et seulement s’il existe une matrice hermitienne définie positive AA telle que ∀x,y∈R,φ(x,y)=x‾TAy\forall x, y \in \R, \varphi(x,y) = \overline{x}^{T} A y.

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