Espaces préhilbertiens de dimension finie

Soit $E$ un espace préhilbertien de dimension $n\in \N$, avec son produit scalaire $\langle,\rangle$. Il suffit de montrer que $E$ est complet pour la norme issue du produit scalaire.
Soit donc $(u_{k})_{k\in \N}$ une suite de Cauchy de $E$. Il faut montrer qu’elle converge dans $E$.
Comme $E$ est de dimension finie, il existe une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $E$, que l’on peut même supposer orthonormée d’après le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Décomposons les termes de notre suite dans cette base :
$$u_{k}=u_{k}^{1}e_{1}+\ldots+u_{k}^{n}e_{n}.$$

Montrons que chaque suite de coordonnées selon une direction $e_{i}$, à savoir $(u_{k}^{i})_{k\in \N}$, est de Cauchy.
Pour cela, on utilise le théorème de Pythagore. Pour tout $m\in \N$ :
$$\|u_{k}-u_{k+m}\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\|(u_{k}^{i}-u_{k+m}^{i})e_{i}\|^{2}=\sum_{i=1}^{n}|u_{k}^{i}-u_{k+m}^{i}|^{2}.$$En particulier, on a que , pour tout $i$, $|u_{k}^{i}-u_{k+m}^{i}|\leqslant \|u_{k}-u_{k+m}\|$, et donc $(u_{k}^{i})_{k\in \N}$ est de Cauchy.

Or, ces suites de coordonnées sont des suites à valeurs dans $\R$, qui est fameusement complet. Donc elles convergent : notons, pour tout $i$,
$$\lim_{k\to +\infty} u_{k}^{i}=a^{}{i}.$$On montre alors sans problème que la suite $(u_{k})$ converge :
$$\lim_{k\to +\infty} u_{k}=\sum_{i=1}^{n}a^{i}e_{i}.$$