Etude asymptotique de la fonction sommatoire de $\mu^{2}$.

Il s’agit d’un exercice de théorie des nombres qui nécessite la connaissance du théorème des nombres premiers ainsi que sa formulation équivalente avec la fonction sommatoire associée à la fonction de Möbius.
On note $*$ le produit de convolution des fonctions multiplicatives, $\delta$ son neutre, $1$ la fonction constante égale à $1$ et enfin $\mu$ la fonction de Möbius.

$\textbf{1.}$ Montrer que $\mu*1=\delta$ , puis en déduire en partant de la somme $\sum_{n\geq 1}\frac{\delta(n)}{n^{2}}$ , que

$\sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^{2}}=\frac{6}{\pi^{2}}.$ (on admettra que $\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$ .)

$\textbf{2.}$ On pose $g=\mu^{2}*\mu$ .
$\textbf{a.}$ Décrire les valeurs de $g$ puis exprimer $\mu^2$ en fonction de $g$ .
$\textbf{b.}$ En déduire un équivalent quand $x\to+\infty$ de la fonction sommatoire de $\mu^{2}$ , $F(x)=\sum_{n\leq x} \mu^{2}(n)$ .

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Solution by Hadrien

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$\textbf{1.}$ $\mu*1$ est multiplicative donc on restreint son étude sur les $p^{k}$ avec $p$ premier et $k$ un entier naturel. Fixons donc $p$ premier et $k\in\mathbb{N^{*}}$ . On a :

$\mu*1(p^{k})=\sum_{d|p^{k}}\mu(d)=\sum_{l=0}^{k}\mu(p^{l})=\mu(1)+\mu(p)=0$ Ainsi $\mu*1=\delta$ .
Puis en sommant par paquets,

$1=\sum_{n\geq1}\frac{\delta(n)}{n^{2}}=\sum_{n\geq 1}\sum_{d|n}\mu(d)\frac{1}{n^{2}}=\sum_{d\geq 1}\sum_{n\in d\mathbb{N}^{*}}\mu(d)\frac{1}{n^{2}}$ Or, en écrivant tout $n\in d\mathbb{N}^{*}$ , comme $n=kd$ avec $k\in\mathbb{N}^{*}$ , on a :

$\sum_{d\geq 1}\sum_{n\in d\mathbb{N}^{*}}\mu(d)\frac{1}{n^{2}} = \sum_{d\geq 1}\sum_{k\geq 1} \frac{\mu(d)}{d^{2}}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\sum_{d\geq 1}\frac{\mu(d)}{d^{2}}$ avec Fubini.

Finalement, on a
$\sum_{d\geq 1}\frac{\mu(d)}{d^{2}}=\frac{6}{\pi^{2}}.$

$\textbf{2. a.}$ $g$ est multiplicative donc on l’étudie sur les puissances de nombres premiers. On se fixe $p$ et $k$ comme à $\textbf{1.}$ , on a :

$g(p^{k})=\sum_{i=0}^{k}\mu^{2}(p^{i})\mu(p^{k-i})=\mu^{2}(p^{k})-\mu^{2}(p^{k-1}).$ Puis pour $l\in\mathbb{N}^{*}$ , $\mu^{2}(p^{l})=0$ si $l>1$ et $\mu^{2}(p)=1$ .
Donc $g(p^{k})=0$ pour $k=1$ et $k>2$ et $g(p^{2})=-1$ . Ainsi $g(n)=(-1)^{s}=\mu(\sqrt{n})$ si $n=(p_{1}...p_{s})^{2}$ avec $p_{1},...,p_{s}$ des nombres premiers et $g(1)=1$ et $g(n)=0$ sinon.

$g=\mu^{2}*\mu$ donc $g*1=\mu^{2}*\mu *1=\mu^{2}*\delta=\mu^{2}$ par associativité du produit de convolution.

$\textbf{b.}$ Pour $x\in\mathbb{R}^{+}_{*}$ , on a par sommation par paquets

$F(x)=\sum_{n\leq x}\mu^{2}(n)=\sum_{n\leq x}\sum_{d|n}g(d)=\sum_{n\leq x}\sum_{d^{2}|n}\mu(d) =\sum_{d\leq x}\mu(d)\left\lfloor{\frac{x}{d^{2}}}\right\rfloor$ La troisième égalité vient de la relation reliant $g$ et $\mu$ un peu plus haut.

Ensuite, pour en déduire une estimation asymptotique on encadre la valeur absolue.
En effet $\frac{x}{d^{2}}-1\leq \left\lfloor{\frac{x}{d^{2}}}\right\rfloor\leq \frac{x}{d^{2}}$ . Notons $I_{x}$ l’ensemble des valeurs $d\leq x$ telles que $\mu(d)>0$ et $J_{x}$ son complémentaire. Alors en sommant les inégalités précédentes multipliées par $\mu(d)$ on a :

$\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}-\frac{1}{x}\sum_{d\in I_{x}}\mu(d)\leq \frac{F(x)}{x}\leq \sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}} -\frac{1}{x}\sum_{d\in J_{x}}\mu(d)$

Or par le théorème des nombres premiers, la fonction sommatoire de $\mu$ (notée $M$ ) vérifie en l’infini $M(x)=o(x)$ . Par encadrement, on obtient donc $F(x)\sim \frac{6x}{\pi^{2}}$ .

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