Limite d'une fonction périodique

Limite d’une fonction périodique

Soit $f:\R \rightarrow \R$ Une fonction périodique de période $T>0$ , telle que $f$ admet une limite lorsque $x\rightarrow+\infty$ .
Que peut-on dire au sujet $f$ ?

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Solution by Ancient Tree · translated by Catalpa

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Soit $x\in \R$ un nombre réel fixé arbitrairement, et étudions la suite $f(x),f(x+T),f(x+2T),\ldots$ . Par hypothèse, puisque $x+n T \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty$ , elle converge vers une limite $l\in \R$ . Mais cette suite est constante en raison de la périodicité de $f$ . Cela signifie que $f(x)=l$ . En appliquant le même raisonnement pour tout $x\in \R$ , on obtient que $f$ est constant et égale à $l$ .

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