Groupe d’éléments d’ordre 2

Soit $G$ un groupe tel que tout $x\in G$ est d’ordre $1$ ou $2$, ce qui signifie que $x^2=e$ où $e$ est l’élément neutre.

1. Montrer que $G$ est abélien.
   À présent, supposons que $G$ est fini.
2. Montrer que $G$ peut être généré par une famille finie.
3. Montrer qu’il existe un isomorphisme de groupes entre $G$ et un groupe de la forme $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ où $n$ est un entier positif.

PS: On recommande au lecteur de ne pas utiliser l’artillerie lourde telle que le théorème de classification de Fröbenius (qui stipule que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit de $\mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}$ où $p$ est premier) ou le lemme de Cauchy (qui dit que si $p$ premier divise $\vert G\vert$ alors il existe un élément d’ordre $p$ dans $G$).