Groupe d'éléments d'ordre 2

Soit $G$ un groupe tel que tout $x\in G$ est d’ordre $1$ ou $2$ , ce qui signifie que $x^2=e$ où $e$ est l’élément neutre.

Montrer que $G$ est abélien.
À présent, supposons que $G$ est fini.
Montrer que $G$ peut être généré par une famille finie.
Montrer qu’il existe un isomorphisme de groupes entre $G$ et un groupe de la forme $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$ où $n$ est un entier positif.

PS: On recommande au lecteur de ne pas utiliser l’artillerie lourde telle que le théorème de classification de Fröbenius (qui stipule que tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit de $\mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}$ où $p$ est premier) ou le lemme de Cauchy (qui dit que si $p$ premier divise $\vert G\vert$ alors il existe un élément d’ordre $p$ dans $G$ ).

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L’hypothèse s’écrit $x^{2}=e$ , donc $x^{-1}=x$ pour tout $x\in G$ . Soient $x,y\in G$ . Alors
$xy=(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=yx .$ Donc $G$ est abélien. $\blacksquare$
Immédiat puisque $G$ est fini : la famille $(x)_{x\in G}$ est finie et engendre $G$ . $\blacksquare$
$G$ est un $\mathbb{F}_2$ -espace vectoriel. Le groupe $G$ est abélien, noté additivement $x+y:=xy$ , avec $x+x=0$ pour tout $x$ . Définissons la loi externe par
$\overline{0}\cdot x=0,\qquad \overline{1}\cdot x=x .$ Elle est bien définie sur $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ précisément parce que $2x=0$ , et les axiomes d’espace vectoriel se vérifient sans peine : la distributivité $\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y$ et $(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x$ se ramènent à des cas finis, le second utilisant $x+x=0$ pour $\lambda=\mu=\overline{1}$ .

L’espace $G$ est engendré par la famille finie de la question 2. De toute famille génératrice finie on extrait une base. Notons $(e_1,\dots,e_n)$ une telle base, avec $n\in\mathbb{N}$ (le cas $n=0$ correspondant à $G=\{e\}$ ).

Conclusion : L’application
$\varphi:\ \mathbb{F}_2^{\,n}\longrightarrow G,\qquad (\lambda_1,\dots,\lambda_n)\longmapsto \sum_{i=1}^{n}\lambda_ie_i$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels, donc en particulier un isomorphisme de groupes additifs. Ainsi
$G\simeq(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{n},\qquad \text{d'où} \qquad |G|=2^{n}. \qquad\blacksquare$

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