Groupes d’ordre $pq$

D’après le troisième théorème de Sylow :
$$n_p \mid q, \;n_p \equiv 1[p]$$or, $n_{p}=q$ est impossible, car alors on aurait $q\equiv 1[p]$, ou encore, $q-1$ est un multiple de $p$, ce que nous avons exclu dans l’hypothèse. D’où $n_{p}=1$.
De même, et plus directement comme $p<q$, on a que $n_{q}=1$.

Ainsi, on a un $p$-Sylow $P$ unique et un $q$-Sylow $Q$ unique ; ils sont donc normaux, et par ailleurs, $P\cap Q$ est réduit au neutre par une considération sur l’ordre ; donc on est dans le cadre d’un produit direct interne. On a donc :
$$PQ\cong P\times Q$$mais comme ce dernier est de cardinal $pq$, alors on en déduit que $PQ=G$, d’où
$$G\cong P\times Q\cong \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/ q \mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/ pq \mathbb{Z}$$d’après le théorème chinois.