Groupes finis avec 2 classes de conjugaison

Soit $G$ agissant sur $X:=G$ par conjugaison, c’est-à-dire via l’action $(g,x)\in G\times X\longmapsto g\cdot x=gxg^{-1}\in G$.

Ainsi, l’orbite de $x$ sous cette action est $O_x:=\{gxg^{-1}, g\in G\}$, c’est-à-dire la classe de conjugaison de $x$, et son stabilisateur est $Stab(x):=\{g\in G\mid gxg^{-1}=x\}$, c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec $x$.

Nous savons que l’ensemble des orbites forme une partition de $X$, c’est-à-dire qu’il existe $x_1,\dots,x_r\in X$ tels que $X=\bigsqcup_{i=1}^r O_{x_i}$. Mais il n’y a ici que deux classes de conjugaison, donc $r=2$. De plus, l’une de ces classes contient l’élément neutre $e$, dont l’orbite est réduite à lui-même puisqu’il commute avec tout le monde. On a donc l’égalité $X=\{e\}\sqcup O_x$ pour un certain $x\in X$.

Considérons maintenant les cardinalités : on obtient $\#G=1+\#O_x$. Mais le cardinal $\#O_x$ peut aussi s’écrire comme $\frac{\#G}{\#Stab(x)}$, donc on obtient finalement
$$\#Stab(x)=\frac{\#G}{\#G-1},$$qui doit être un entier. Cela n’est possible que si $\#G=2$.

Réciproquement, si $G$ ne contient que deux éléments, alors il possède bien exactement deux classes de conjugaison puisqu’il est abélien. Cela conclut la preuve.