Quick integrations by part (level $2$)

$\textbf{1.}$
On réécrit tout d’abord l’intégrande pour ensuite appliquer une intégration par parties :
$\displaystyle\int_{0}^1 x^{3} e^{x^{2}} \mathrm{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x^{2} x e^{x^{2}} \mathrm{d}x$

On pose $u(x) =x^{2}$ et $v'(x)= xe^{x^{2}}$, on déduit $u'(x) = 2x$ et $v(x) = \frac{1}{2} e^{x^{2}}$
Ainsi par la formule de l’intégration par parties :
$\displaystyle\int_{0}^1 \underset{u(x)}{\underbrace{x^2} } \underset{v'(x)}{\underbrace{x e^{x^2}}} \mathrm{d}x = \Bigl[\underset{u(x)}{\underbrace{x^2}} \underset{v(x)}{\underbrace{\frac{1}{2}e^{x^2}}} \Bigr]_0^1 - \displaystyle\int_{0}^1 \underset{u'(x)}{\underbrace{2x} } \underset{v(x)}{\underbrace{\frac{1}{2} e^{x^2}}} \mathrm{d}x = \left( 1^{2} \frac{1}{2}e^{1^{2}} - 0^{2} \frac{1}{2}e^{0^{2}} \right) - \displaystyle\int_{0}^1 2x \frac{1}{2} e^{x^2} \mathrm{d}x$
en simplifiant
$\displaystyle\int_{0}^1 x^{3} e^{x^{2}} \mathrm{d}x =\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^1 2x e^{x^{2}}$

$\newline$
On peut calculer explicitement la nouvelle intégrale obtenue grâce à l’intégration par parties en reconnaissant une fonction de la forme $u'e^{u}$ où $u(x) = x^{2}$ dont une primitive est $e^{u}$
$\displaystyle\int_{0}^1 x^{3} e^{x^{2}} \mathrm{d}x =\frac{e}{2} - \frac{1}{2} \Bigl[e^{x^{2}} \Bigr]_{0}^1 = \frac{e}{2} -\frac{1}{2} (e - 1) = \frac{1}{2}$
$\newline$
$\textbf{2.}$
On pose $u'(t) = 1$ et $v(t) = \ln(t)$, on déduit $u(t) =t$ et $v(t) = \frac{1}{t}$
$\displaystyle\int_{1}^e \ln(t) \mathrm{d}t = \displaystyle\int_{1}^e 1 \cdot \ln(t) \mathrm{d}t = \Bigl[t \ln(t) \Bigr]_{1}^{e} - \displaystyle\int_{1}^e t \cdot \frac{1}{t} \mathrm{d}t = e - \displaystyle\int_{1}^e 1 \mathrm{d}t = e - (e - 1) =1$

$\textbf{3.}$
On pose $u'(t) = 1$ et $v(t) = \arctan(t)$, on déduit $u(t) =t$ et $v(t) = \frac{1}{1 + t^{2}}$
$\displaystyle\int_{0}^{1} \arctan(t) \mathrm{d}t = \displaystyle\int_{0}^{1} 1 \cdot \arctan(t) \mathrm{d}t = \Bigl[t \arctan(t) \Bigr]_{0}^{1} - \displaystyle\int_{0}^{1} t \cdot \frac{1}{1 +t ^{2}} \mathrm{d}t = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \displaystyle\int_{0}^1 \frac{2t}{1 + t^{2}} \mathrm{d}t$
$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \Bigl[ \ln(1 + t^{2}) \Bigr]_{0}^1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln(2)}{2}$
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