Intersection de sous-groupes

Soit $(G_{i})_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de $G$ indexée par un ensemble $I$.
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On note $e$ l’élément neutre de $G$.
Tout sous-groupe de $G$ contient $e$, donc : $\forall i \in I, e \in G_{i}$
Autrement dit : $e \in \bigcap\limits_{i \in I} G_{i}$
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Soient $x$ et $y$ deux éléments de $\bigcap\limits_{i \in I} G_{i}$.
$\forall i \in I, (x,y) \in (G_{i})^2$
Comme, pour tout $i \in I$, $G_{i}$ est un sous-groupe de $G$, on a $x * y^{-1} \in G_{i}$
Ainsi $x * y^{-1} \in \bigcap\limits_{i\in I} G_{i}$
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On conclut que $\bigcap\limits_{i \in I} G_{i}$ est un sous-groupe de $G$ car contient $e$ et est stable par multiplication et passage à l’inverse.