Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraUnreviewed

Intersection d’un hyperplan de Mn(K)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) avec le groupe des inversibles 2

by Uettechat·
35
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

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  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit n≥1n \ge 1 un nombre et K\mathbb{K} un corps. Soit E:=Mn(K)E := \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).

  1. Soit ϕ\phi une forme linéaire de Mn(K)\mathcal{M}_n(\mathbb{K}) dans K\mathbb{K}. Montrer qu’il existe une unique matrice A∈EA \in E vérifiant:
    ∀M∈E,ϕ(M)=tr(AM)\forall M \in E, \quad \phi(M) = \text{tr}(AM)
  2. En déduire que pour tout hyperplan HH de EE, l’intersection H∩GLn(K)H \cap \text{GL}_n(\mathbb{K}) est non vide.
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Une autre démonstration

37Intersection d’un hyperplan de Mn(C)M_n(\C) avec le groupe des inversiblesby beignet62

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