Invariance par isotopie ambiante du groupe du noeud

On considère deux noeuds équivalents $K_{1}$ et $K_{2}$, c’est-à-dire qu’il existe une isotopie ambiante de l’espace
$$H:\R^{3}\times[0,1]\rightarrow \R^{3}$$envoyant un noeud sur l’autre : $H(\cdot,0)=id_{\R^{3}}$ et $H(K_{1},1)=K_{2}$.

Par définition d’isotopie ambiante, pour tout $t$, $x\mapsto H(x,t)$ est un homéomorphisme de $\R^{3}$ dans lui-même ; en particulier, la restriction $x\mapsto H(x,1)$ au complémentaire du noeud, $\R^{3}\backslash K_{1}$, est un homéomorphisme de $\R^{3}\backslash K_{1}$ sur son image, à savoir $\R^{3}\backslash K_{2}$.

Or, le groupe fondamental est invariant par homéomorphisme. D’où l’isomorphisme de groupes :
$$\pi_{1}(\R^{3}\backslash K_{1})\cong \pi_{1}(\R^{3}\backslash K_{2})$$ce qui est exactement dire que $K_{1}$ et $K_{2}$ ont même groupe de noeud.