Inverse d’une matrice diagonalisable

Par définition, comme $A$ est diagonalisable, cela signifie qu’elle est semblable à une matrice diagonale, disons $D$.
Il existe donc une matrice inversible $P$ telle que $A=PDP^{-1}$.

En passant à l’inverse, on obtient :
$$A^{-1}=(PDP^{-1})^{-1}=PD^{-1}P^{-1}$$et comme l'inverse d’une matrice diagonale est encore diagonale, $A^{-1}$ est semblable à une matrice diagonale, donc est diagonalisable.