Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExercise

Inverse d’une matrice diagonalisable

by Ancient Tree·
30
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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On considère une matrice diagonalisable AA qui est inversible.
Est-ce que son inverse A−1A^{-1} est également diagonalisable ?

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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Par définition, comme AA est diagonalisable, cela signifie qu’elle est semblable à une matrice diagonale, disons DD.
Il existe donc une matrice inversible PP telle que A=PDP−1A=PDP^{-1}.

En passant à l’inverse, on obtient :
A−1=(PDP−1)−1=PD−1P−1A^{-1}=(PDP^{-1})^{-1}=PD^{-1}P^{-1}et comme l'inverse d’une matrice diagonale est encore diagonale, A−1A^{-1} est semblable à une matrice diagonale, donc est diagonalisable.

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