Irrationalité de racines carrées

Pb1: Utilisons un raisonnement par l’absurde
Prenoms p et q entiers premiers entre eux et sqrt(2)=p/q
alors p^2/q^2=2 donc p^2=2q^2
p^2 est un multiple de 2 donc p est un multiple de 2.
Par conséquent p=2k

p^2=4k^2=2q^2 donc 2k=q^2 par conséquent q^2 est un multiple de 2 et q est donc multiple de 2

Or p et q sont premiers entre eux donc impossible.

D"où sqrt(2) est irrationnel.

Pb2: Utilisons un raisonnement par l’absurde
Prenoms p et q entiers premiers entre eux, sqrt(n)=p/q et n n’est pas un carré parfait
alors p^2/q^2=n donc p^2=nq^2

p=p_1^(k_1) x .. x p_i^(k_i) où p_1, ..., p_i sont les nombres premiers distincts
q=q_1^(l_1) x .. x q_j^(l_j) où q_1, ..., q_j sont les nombres premiers distincts

Donc p^2=p_1^(2k_1) x .. x p_i^(2k_i) et q^2=q_1^(2l_1) x .. x q_j^(2l_j) où q_1, ..., q_j

Donc n a tous les exposants paires de sa décomposition.

Cela contredit l’hypothèse selon laquelle (n) n’est pas un carré parfait.

D"où sqrt(n) est irrationnel.