L’atelier d’Euclide : trois longueurs… comment en faire un triangle ?

NB : cette solution respecte toutes les conditions d’Euclide : construction à la règle non graduée et au compas non collapsible (autrement dit on ne fait que tracer des cercles entre des points, et relier des points avec un règle). La contrepartie de l’observation de cette règle est que la figure compète est particulièrement chargée.....

Soient trois segments $[AB]$, $[CD]$ et $[EF]$ de longueurs respectives $a$, $b$ et $c$ vérifiant les inégalités précisées dans l’énoncé ($[AB]$ en trait épais rouge sur la figure, $[CD]$ en trait épais vert et $[EF]$ en trait épais bleu).

Soit une droite $(GH)$, qui constituera le support de notre construction

Construire d’abord le point $L$ sur la droite $(DE)$ tel que $\bf GL=[AB]=a$ (toutes les étapes de construction du point L en rouge trait fin sur la figure)
Pour avoir l’explication détaillée de cette construction à la règle et au compas collapsible, voir le problème Comment reporter une longueur sur un segment.

De la même façon, construire ensuite le point $P$ sur $(GH)$ tel que $\bf LP=[CD]=b$

De la même façon, construire le point $U$ sur $(GH)$ tel que $\bf PU=[EF]=c$

Tracer ensuite le cercle de centre $L$ et de rayon $GL=a$ (en rouge trait plein sur la figure), puis le cercle de centre $P$ et de rayon $PU=c$ (en bleu sur la figure).

Soit $Z$ un des deux points d’intersection de ces deux cercles, par exemple celui situé au-dessus de $(GH)$.

Le triangle $LZP$ est bien un triangle avec des côtés de longueur $a$, $b$ et $c$ car , par construction $\bf LP=b$ , $\bf LZ=a$ vu que le rayon du cercle de centre $L$ vaut $GL=a$, et enfin $\bf PZ=c$ vu que le rayon du cercle de centre $P$ vaut $PU=c$.

Le triangle construit répond donc bien à la question.