L’atelier d’Euclide : trois longueurs, un triangle

Soient trois longueurs $a$, $b$ et $c$ vérifiant les inégalités précisées dans l’énoncé.
Soit une droite $(DE)$, qui constituera le support de notre construction

Construire d’abord le point $F$ sur la droite $(DE)$ tel que $\bf DF=a$, puis le point $G$ sur $(DE)$ tel que $\bf FG=b$ et enfin le point $A$ sur $(DE)$ tel que $\bf GA=c$ (pour effectuer ces constructions à la règle et au compas collapsible, voir le problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2) ).

Tracer ensuite le cercle de centre $F$ et de rayon $DF$, puis le cercle de centre $G$ et de rayon $GA$.
Soit $H$ un des deux points d’intersection des deux cercles, par exemple celui situé au-dessus de $(DE)$.

Le triangle $FGH$ est bien un triangle avec des côtés de longueur $a$, $b$ et $c$. D’une part $\bf FG=b$ par construction, $\bf FH=a$ vu que le rayon du cercle de centre $F$ vaut $DF=a$, et enfin $\bf GH=c$ vu que le cercle de centre $G$ vaut $GA=c$.