L’atelier d’Euclide : trois longueurs, un triangle

Soient $3$ longueurs $a$ , $b$ et $c$ vérifiant les inégalités suivantes :

$a+b>c$ ,
$a+c>b$
$b+c>a$

Proposer une méthode de construction, à la règle et au compas collapsible, d’un triangle ayant pour côtés les trois longueurs $a$ , $b$ et $c$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 22

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Solution by goldfinch

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Soient trois longueurs $a$ , $b$ et $c$ vérifiant les inégalités précisées dans l’énoncé.
Soit une droite $(DE)$ , qui constituera le support de notre construction

Construire d’abord le point $F$ sur la droite $(DE)$ tel que $\bf DF=a$ , puis le point $G$ sur $(DE)$ tel que $\bf FG=b$ et enfin le point $A$ sur $(DE)$ tel que $\bf GA=c$ (pour effectuer ces constructions à la règle et au compas collapsible, voir le problème Gymnastique géométrique, à la règle et au compas (2) ).

Tracer ensuite le cercle de centre $F$ et de rayon $DF$ , puis le cercle de centre $G$ et de rayon $GA$ .
Soit $H$ un des deux points d’intersection des deux cercles, par exemple celui situé au-dessus de $(DE)$ .

Le triangle $FGH$ est bien un triangle avec des côtés de longueur $a$ , $b$ et $c$ . D’une part $\bf FG=b$ par construction, $\bf FH=a$ vu que le rayon du cercle de centre $F$ vaut $DF=a$ , et enfin $\bf GH=c$ vu que le cercle de centre $G$ vaut $GA=c$ .

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