Le compte est bon Bertrand

$\textbf{Cas 1}$ : Supposons que $64$ est dans la somme
En prenant $64$, on ne peut ni prendre $50$, ni $22$. En effet ces deux nombres sont trop gros, on dépasse $84$. $(64 + 50 = 104 > 84$ et $64+22=88>84)$
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$\textbf{Cas 1.1}$ Supposons que $15$ est dans la somme
$64 + 15 = 79$
On peut plus prendre $8$ car on dépasserait 84 : $79 + 8 = 87 > 84$
Il nous reste plus que $1$, sauf que là on est en dessous de $84$ : $79+1=80 <84$
Nous n’avons pas réussi à atteindre $84$.
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$\textbf{Cas 1.2}$ Le cas 1.1 est impossible, $15$ n’est pas dans la somme.
Les nombres à notre disposition qui restent sont $1$ et $8$ sauf que même en prenant ces deux nombres, on est toujours en dessous de $84$. En effet $64 + 8 + 1 = 73 < 84$
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$\textbf{Cas 2 :}$ Le cas 1 est impossible, $64$ n’est pas dans la somme
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$\textbf{Cas 2.1}$ Supposons que $50$ est dans la somme
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$\textbf{Cas 2.1.1}$ Supposons que $22$ est dans la somme
$50+22 =77$
On ne peut ni prendre $8$ et $15$ dans la somme car on dépasse $84$, il nous reste $1$ et là on est en dessous de $84$
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$\textbf{Cas 2.1.2}$ $22$ n’est pas dans la somme
Même en prenant tous les nombres restants, on est en dessous de $84$ : $50 + 15 + 8 + 1 = 74 < 84$
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$\textbf{Cas 2.2}$ $50$ n’est pas dans la somme
En prenant tous les nombres restants, on est largement en dessous de $84$ : $22 + 15 + 8 + 1 = 46 < 84$
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$\textbf{Conclusion}$ : Le compte n’est pas bon !!!