The best apartment

On raisonne à rebours. Notons $V_k$ la note espérée obtenue en jouant de
façon optimale lorsqu’il reste $k$ appartements à visiter (celui qu’on a
sous les yeux compris).

Cas intitial : S’il n’en reste qu’un, on est forcé de le
prendre :
$$V_1 = \int_0^1 x\,dx = \tfrac12.$$

Récurrence. Quand il reste $k$ appartements, on observe la
note courante $x$ : la garder rapporte $x$, la refuser rapporte $V_{k-1}$ en
moyenne. On garde donc si et seulement si $x \ge V_{k-1}$ : le seuil
d’acceptation est exactement $V_{k-1}$. La note espérée est la moyenne sur
$x \sim \mathcal{U}[0,1]$ du meilleur des deux choix :
$$V_k = \int_0^1 \max(x, V_{k-1})\,dx = \frac{1 + V_{k-1}^2}{2}.$$

Calcul de la suite : En itérant depuis $V_1 = \tfrac12$ :
$$V_1 = 0{,}5,\quad V_2 = 0{,}625,\quad V_3 \approx 0{,}695,\quad \dots,\quad V_{18} \approx 0{,}913,\quad V_{19} \approx 0{,}916.$$

Conclusion. Au premier appartement, il reste $20$ visites,
donc le seuil vaut $V_{19} \approx 0{,}916$. Comme $0{,}9 < 0{,}916$, on
refuse : la note est bonne dans l’absolu, mais il reste bien trop de
tirages devant soi pour se contenter de $0{,}9$. En jouant ainsi jusqu’au
bout, on obtient en moyenne $V_{20} \approx 0{,}92$.