Le nombre $π$ du périmètre du cercle est-il vraiment le même que celui de la surface du disque ?

Historiquement, la première définition du nombre $π$ a été celle découlant du périmètre $P$ d’un cercle de diamètre $D$ :
$$P=\pi\times D.$$Autrement dit, $π$ est la longueur, en mètres, de la circonférence d’un cercle dont le diamètre vaut 1 mètre.

Une seconde définition a été celle découlant de l’aire d’un disque de rayon $R$ :
$$A=\pi\times R^2$$Autrement dit, $π$ est l’aire, en mètres carrés, d’un disque dont le rayon vaut 1 mètre.

Démontrer qu’il s’agit bien du même nombre $π$ dans les deux définitions, par un raisonnement classique de l’Antiquité consistant à inscrire un polygone à $n$ côtés dans un cercle (ici $n=8$).