Le plus grand angle d’un triangle est celui qui ……

1. Considérons d’abord les deux côtés $AB$ et $AC$ avec $AC>AB$, et construisons le point $D$ sur $[AC]$ tel que $AD=AB$.

Le triangle $ABD$ est isocèle par construction, donc les deux angles $\widehat {ABD}$ et $\widehat {ADB}$ sont de mesure égale : $\bf\widehat {ABD}=\widehat {ADB}$ (1)
(pour démontrer ce point, voir problème Egalité des angles dans un triangle isocèle) .

Considérons maintenant le triangle $BDC$. Nous pouvons montrer que la mesure de son angle extérieur $\widehat {ADB}$ est supérieure à celle de l’angle opposé intérieur $\widehat {BCD}$ :
$\bf\widehat {ADB}>\widehat {BCD}$ (2).
(pour démontrer ce point, voir problème Relation entre les angles intérieurs et extérieurs d’un triangle)

Or l’angle $\widehat {ABD}$ est une partie de $\widehat {ABC}$, donc $\widehat {ABC}>\widehat {ABD}$ . Avec (1), on en déduit donc que $\bf\widehat {ABC}>\widehat {ADB}$.
En couplant cette inégalité avec l’inégalité (2), on en déduit que $\bf\widehat {ABC}>\widehat {BCA}$ , ce qu’il fallait démontrer.

2. Pour généraliser, il suffit d’effectuer le raisonnement ci-dessus deux fois, une première fois avec la paire de côtés constituée par le côté le plus grand (ici $AC$) et le côté de longueur intermédiaire (ici $BC$), puis une deuxième fois avec la paire de côtés constituée par le côté de longueur intermédiaire (ici $BC$) et le le côté le plus petit $AB$ , pour aboutir aux inégalités de mesures d’angles suivantes : $\bf\widehat {ABC}>\widehat {BCA}>\widehat {BAC}$.

Enfin , étant données les inégalités précédentes, on peut conclure que pour un triangle scalène, dont les trois côtés sont donc de longueur différente par définition, les trois angles seront aussi de mesure différente.