Le plus grand angle d’un triangle est soutenu par son plus grand côté

Rappelons que par hypothèse $\widehat {BAC}>\widehat {ACB}$ (1)

Il faut montrer que le côté $BC$ qui soutient $\widehat {BAC}$ est plus grand que le côté AB qui soutient $\widehat {ACB}$ , donc que $BC>AB$.
Il suffit pour cela de montrer que $BC$ ne peut être ni égal, ni inférieur à $AB$.

$BC$ ne peut être égal à AB, car sinon le triangle $ABC$ serait isocèle en $B$, et donc cela impliquerait que les mesures des deux angles $\widehat {BAC}$ et $\widehat {ACB}$ seraient égales (pour démontrer ce point voir le problème Egalité des angles dans un triangle isocèle). Ceci est en contradiction avec l’hypothèse (1).

$BC$ ne peut étre inférieur à $AB$, car s’il était plus petit, alors la mesure de l’angle $\widehat {BAC}$ serait plus petite que la mesure de l’angle $\widehat {ACB}$ (pour démontrer ce point, voir le problème Le plus grand côté d’un triangle soutient le plus grand angle). Ceci est à nouveau en contradiction avec l’hypothèse (1).