Le principe factoriel

1. Posons $m=|G/H|=[G:H]$, qui vaut au moins $2$ puisque $H\neq G$. L’action de $G$ par translation à gauche sur $G/H$ fournit un morphisme
   $$\varphi:G\longrightarrow\mathfrak{S}(G/H)\simeq\mathfrak{S}_m,\qquad \ker\varphi=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}.$$Ce noyau est un sous-groupe distingué contenu dans $H\neq G$ ; par simplicité il est trivial, et donc $\varphi$ est injectif.
   Considérons alors $\varepsilon\circ\varphi:G\to\{\pm1\}$. Son noyau est distingué dans $G$, donc égal à $\{e\}$ ou à $G$. Dans le premier cas $G$ se plongerait dans le groupe abélien $\{\pm1\}$, ce qui est exclu. Donc $\varepsilon\circ\varphi$ est trivial, c’est-à-dire $\varphi(G)\subseteq\mathfrak{A}_m$, et le théorème de Lagrange donne
   $$|G|\ \big|\ |\mathfrak{A}_m|=\frac{m!}{2}.$$

2. Soit $P$ un $p$-Sylow de $G$. L’action de $G$ par conjugaison sur ses $p$-Sylow est transitive, de stabilisateur $N_G(P)$, d’où $n_p(G)=[G:N_G(P)]$.

Montrons que $N_G(P)\neq G$. Sinon $P$ serait distingué, non trivial car $p$ divise $|G|$, donc $P=G$ par simplicité. Mais alors $G$ serait un $p$-groupe, de centre non trivial ; ce centre, distingué, serait $G$ entier, et $G$ serait abélien, ce qui est exclu.
Le sous-groupe $H=N_G(P)$ est donc propre, et la question 1 donne
$$|G|\ \big|\ \frac{n_p(G)!}{2}$$

3. Soit $G$ d’ordre $160=2^{5}\times 5$, supposé simple. Il n’est pas abélien car un groupe abélien simple est d’ordre premier. Les théorèmes de Sylow donnent
   $$n_2\mid 5,\qquad n_2\equiv 1\pmod 2,\qquad\text{donc } n_2\in\{1,5\}.$$Le cas $n_2=1$ rend le $2$-Sylow distingué, exclu. Donc $n_2=5$, et la question 2 impose $160\ \big|\ \frac{5!}{2}=60,$
   ce qui est absurde puisque $160>60$. $\blacksquare$