The park problem

Intuitivement, le triangle équilatéral est celui qui possède la plus grande aire.
Pour le démontrer, supposons que notre triangle $ABC$ possède deux côtés qui ne sont pas égaux. Sans perte de généralité, disons $AB$ et $AC$. Plaçons maintenant le point $A'$ sur le cercle de sorte que $A'B$ et $A'C$ soient égaux.

Le nouveau triangle $A'BC$ a une aire plus grande que $ABC$, puisqu’ils ont la même base $BC$, mais que la hauteur correspondante de $A'BC$ est plus grande. Cela semble intuitivement évident, mais pas si trivial à démontrer.

Preuve

Une manière de le montrer consiste à considérer la figure suivante :

où nous avons ajouté :

• le centre $O$ du cercle
• la projection orthogonale $P$ de $O$ sur la droite $(AH)$
• le pied $H$ de la hauteur de $ABC$
• le pied $M$ de la hauteur correspondante dans $A'BC$

On peut maintenant simplement utiliser l’inégalité triangulaire : la hauteur $AH$ est égale à $AP+PH$, mais $AP$ est strictement inférieur à $OA$, car le triangle $AOP$ est rectangle et $AO$ en est l’hypoténuse. Or, $AO$ est le rayon du cercle, donc il est égal à $A'O$. Finalement :
$$AH=AP+PH<AO+PH=AO+OM=AM$$Ainsi, la hauteur $AH$ est strictement inférieure à la hauteur $AM$.

Cela montre que, pour tout triangle qui n’est pas équilatéral, on peut construire un triangle ayant une aire plus grande. Par conséquent, le triangle d’aire maximale doit être équilatéral.