Le produit scalaire canonique de matrices réelles

Soit $n \geq 1$, et $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$.

1. Calculer la trace $\text{tr}(A^t A)$ en fonction de $a_{i,j}$.

2. Montrer que l’application $f$ définie sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par $f(A,B) = \text{tr}(A^t B)$ est un produit scalaire^EN sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

3. Montrer que pour toutes les matrices symétriques $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,

$$(\text{tr}(AB))^2 \leq (\text{tr}(A^2))(\text{tr}(B^2))$$