Le sommet d’un triangle a glissé parallèlement à sa base… et l’aire ?

Soient 2 triangles $ABC$ et $BDC$ qui , d’une part, ont une même base $[BC]$ , et d’autre part, sont construits entre les mêmes parallèles $(BC)$ et $(EF)$ .

Montrer que les aires des deux triangles sont égales : $\bf [ABC]=[DBC]$

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notations $[ABC]$ et
$[ABCD]$ pour noter les aires d’un triangle $ABC$ et d’un quadrilatère $ABCD$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 37

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Solution by goldfinch

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Construisons les point $G$ sur la droite $(EF)$ tel que $(BG)$ soit parallèle à $(CA)$ , et H sur la droite $(EF)$ tel que $(CH)$ soit parallèle à $(BD)$ .
Nous avons ainsi construit deux parallélogrammes, $ACBG$ et $DHCB$ .

Ces deux parallélogrammes ont une base commune $[BC]$ et sont construits entre les mêmes parallèles $(EF)$ et $(BC)$ , nous pouvons donc prouver que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme cisaillé conserve-t-il son aire ?), soit : $\bf [ACBG]=[DHCB]$ (1)

Nous pouvons aussi montrer que la diagonale $[AB]$ coupe le parallélogramme $ACBG$ en deux triangles $ABG$ et $ABC$ superposables, dont tous les côtés sont égaux deux à deux, et dont les angles sont égaux deux à deux aussi (pour la démonstration de ce point, voir problème Propriétés du parallélogramme), donc les aires de ces deux triangles sont égales :
$\bf [ABG]=[ABC]$ (2)

Il en est de même si on coupe le parallélogramme $DHCB$ en deux triangles $DBC$ et $DHC$ , avec la diagonale $[DC]$ . Un raisonnement analogue nous conduit à l’égalité des aires des deux triangles $DBC$ et $DHC$ , soit :
$\bf [DBC]=[DHC]$ (3)

En développant (1), nous obtenons $[ABC]+[ABG]=[DBC]+[DHC]$
Ce qui couplé avec (1) et (2) nous donne :
$\bf [ABC]=[DBC]$ ce qu’il fallait démontrer

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