Les sous-groupes finis de $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{Z})$ sont de cardinal $1,2,3,4$ ou $6.$

Preuve en vidéo : https://youtu.be/T1W0erDKjY0

1. La symétrie provient de la symétrie de $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$. La bilinéarité provient aussi de celle de $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ ainsi que de la linéarité de la somme. Enfin pour $x\in\mathbb{R}^n$, $\left\langle x,x\right\rangle_G\geq 0$ par positivité de $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle$ et, si $\left\langle x,x\right\rangle_G=0$, alors $\forall g\in G$, $\left\langle gx,gx\right\rangle=0$ donc $gx=0$. En particulier pour $g=\mathrm{id}$, $x=0$. On remarque que pour $h\in G$, on a
   $$\forall x\in\mathbb{R}^n,\quad \left\langle hx,hx\right\rangle_G =\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\left\langle ghx,ghx\right\rangle =\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\left\langle gx,gx\right\rangle$$car l’application $g\mapsto gh$ définit une bijection sur $G$ (car injective entre deux ensembles de même cardinal fini). Par conséquent les éléments de $G$ sont des isométries de $\mathbb{R}^n$ pour le produit scalaire $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle_G$. Ainsi, en notant $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^n$ à une base orthonormée $\mathcal{B}$ pour $\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle_G$, on a l’inclusion $\varphi\colon g\longmapsto PgP^{-1}$ de $G$ dans $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$.
2. Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$. On rappelle que les isométries de $\mathbb{R}^2$ sont de deux types possibles : les rotations et les symétries orthogonales. Les premières étant de déterminant $1$ et les symétries de déterminant $-1$. On note $P\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telle que $G'=PGP^{-1}\subseteq\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$, i.e. telle que les $PgP^{-1}$ soient des matrices de rotations pour $g\in G$. On note
   $$R_\theta= \begin{pmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{pmatrix}$$la matrice de la rotation d’angle $\theta\in\left[0,2\pi\right[$ dans la base $\mathcal{B}$ et $G'=\{R_{\theta_i}\mid i\in{1,\dots,d}\}$.
   Par finitude de $G$, l’ensemble des $\theta_i\neq 0$ admet un minimum que l’on note $\theta_0$. On montre alors que $G'$ est engendré par $R_{0}= R_{\theta_0}$. Soit $R_\theta\in G$, par archimédianité de $\mathbb{R}$ il existe $n\in\mathbb{N}$ tel que $0\leq\theta-n\theta_0<\theta_0<2\pi$, mais alors $R_\theta R_0^{-n}=R_{\theta-n\theta_0}\in G$. Ainsi $\theta-n\theta_0$ apparaît comme un angle de rotation d’un élément de $G$ qui est inférieur à $\theta_0$, c’est donc $0$. Ainsi $R_\theta=R_0^n$.

Il ne nous reste plus qu’à borner le cardinal possible de $G$. Pour cela on remarque que les traces des éléments de $G$ sont des entiers mais, par invariance par changement de base, l’angle de rotation $\theta_0$ doit aussi vérifier $2\cos(\theta_0)\in\mathbb{Z}$, ce qui impose $\cos(\theta_0)\in\left\{-1,-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},1\right\}$.
Ainsi on a les alternatives suivantes possibles pour l’angle $\theta_0$ du générateur :

• $\theta_0=0$ ce qui donne $G$ trivial.
• $\theta_0=\dfrac{\pi}{3}$ ce qui donne $G\simeq\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
• $\theta_0=\dfrac{\pi}{2}$ ce qui donne $G\simeq\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.
• $\theta_0=\dfrac{2\pi}{3}$ ce qui donne $G\simeq\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.
• $\theta_0=\pi$ ce qui donne $G\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.