Powers of integer matrices

Le polynôme $X^{n}-1$ est scindé à racines simples et annule $M$, qui est alors diagonalisable. C’est une matrice réelle qui possède donc un spectre inclus dans les racines $n$-èmes de l’unité. Notons $\lambda$ et $\mu$ ses valeurs propres.
Si les deux valeurs propres sont réelles, alors elles valent $1$ ou $-1$ et ainsi $M$ est semblable à une matrice avec des $\pm1$ sur la diagonale. Donc son carré est semblable à l’identité et ainsi $M^2=I_2$. En passant à la puissance $6$, on trouve que $M^{12}=I_2$.

Sinon, $\lambda$ et $\mu$ sont deux racines de l’unité complexes conjuguées. On note $\lambda=e^{i\theta}=\overline{\mu}$ avec $\theta\in]-\pi,\pi]$.
La trace de $M$, matrice à coefficients entiers, est ainsi un entier. On déduit de cela que $\lambda+\mu=2\cos(\theta)$ est un entier, soit valant $\pm2,\pm1$ ou $0$.

En traitant ces cas un par un, on trouve que, si $\lambda$ et $\mu$ ne sont pas réels, ce sont des racines $3$-èmes ou $4$-ème de l’unité. Dans le premier cas $M^3$ est semblable à $I_2$ donc égale à $I_2$ et dans le second, c’est $M^4$ qui vaut $I_2$. Dans tous les cas, en passant à la puissance $4$ ou $3$, on trouve que $M^{12}=I_2$, ce qui conclut.