Spectre de la commatrice

Preuve en vidéo : https://youtu.be/W6WnB5DaSn4
Cas 1: Si $A$ est inversible.
Dans ce cas, grâce à la formule $A\mathrm{Com}(A)^{T}=\det(A)$ on a $\mathrm{Com}(A)^{T}=\det(A)A^{-1}$ donc
$$\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A)^{T})=\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A))=\left\{\dfrac{\det(A)}{\lambda}\mid \lambda\in \mathrm{Sp}(A)\right\}.$$Cas 2: Si $\mathrm{rg}(A)\leq n-2$.
Alors les mineurs non nuls de $A$ sont de taille $\leq n-2$. En particulier, ses mineurs de taille $n-1$, donc les coefficients de $\mathrm{Com}(A)$ sont nuls. Donc $\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A))=\{0\}.$
Cas 3: Si $\mathrm{rg}(A)=n-1.$
Dans ce cas $A$ possède un mineur non nul de taille $n-1.$ Donc $\mathrm{Com}(A)$ possède un coefficient non nul et par conséquent $\mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))\geq 1.$ Par ailleurs, $A\mathrm{Com}(A)^{T}=\det(A)I_{n}=0$ donc $\mathrm{im}(\mathrm{Com}(A)^{T})\subseteq \ker(A)$ mais, par le théorème du rang, $\dim(\ker(A))=1$. Puisque $\mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))=\mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A)^{T})$ on a $\mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))=1.$ Encore grâce au théorème du rang on obtient $\dim(\ker(\mathrm{Com}(A))=n-1$ ce qui signifie que $0$ est valeur propre de $\mathrm{Com}(A)$ de multiplicité au moins $n-1.$ On note $\lambda$ la "dernière" valeur propre (comptée avec multiplicité ; $\lambda$ peut être nulle). Puisque la trace d’une matrice complexe est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité, on a
$$\mathrm{Tr}(\mathrm{Com}(A))=\sum_{\mu\in\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A)}m_{\mu}\mu=\lambda.$$Par ailleurs, $\forall A\in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C}),\forall P\in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C}), \mathrm{Com}(P^{-1}AP)^{T}=P^{-1}\mathrm{Com}(A)^{T}P$. En effet, pour $A\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$, on a $\mathrm{Com}(P^{-1}AP)^{T}=\det(A)(P^{-1}AP)^{-1}=P^{-1}(\det(A)A^{-1})P=P^{-1}\mathrm{Com}(A)^{T}P$. Puis, par densité de $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ et par continuité de $A\mapsto P^{-1}\mathrm{Com}(A)^{T}P$ et de
$A\mapsto \mathrm{Com}(P^{-1}AP)^{T}$, les deux applications coïncident sur une partie dense de $M_{n}(\mathbb{C})$ donc sur $M_{n}(\mathbb{C})$. Pour $A$ de rang $n-1$ et $P\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{C})$ telle que $P^{-1}AP$ triangulaire avec $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ sur la diagonale, on a $\mathrm{Com}(P^{-1}AP)^{T}$ triangulaire supérieure avec sur sa diagonale $\displaystyle \prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n}\lambda_{j}$ et sa trace est la même que celle de $\mathrm{Com}(A)$ par ce qui précède. Ainsi on a
$$\lambda=\sum_{i=1}^{n}\prod_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n}\lambda_{j}$$Puisque $A$ est de rang $n-1$ elle possède au moins une valeur propre nulle donc tous les produits sont nuls sauf peut-être un. Plus précisément :

• Si $0$ est valeur propre de $A$ de multiplicité $1$ alors $\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A))=\{0,\prod_{\mu\in\mathrm{Sp}(A)\setminus\{0\}}\mu^{m_{\mu}}\}.$
• Si $0$ est valeur propre de $A$ de multiplicité $\geq 2$ alors $\mathrm{Sp}(\mathrm{Com}(A))=\{0\}$. Autrement dit, $\mathrm{Com}(A)$ est nilpotente.