Matrice de rang pair

Le polynôme $P=X^{3}-X^{2}+X=X(X^{2}-X+1)$ annule $A$. Ses racines complexes sont
$$0,\qquad j'=e^{i\pi/3}=\frac{1+i\sqrt3}{2},\qquad \overline{j'}=e^{-i\pi/3},$$deux à deux distinctes : $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$, donc $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.
Notons $m_0,m_+,m_-$ les multiplicités respectives de $0$, $j'$ et $\overline{j'}$. La matrice $A$ étant réelle, $\chi_A\in\mathbb{R}[X]$ et ses racines non réelles sont conjuguées avec la même multiplicité : $m_+=m_-$.
Comme $A$ est diagonalisable, le rang est le nombre de valeurs propres non nulles comptées avec multiplicité :
$$\operatorname{rg}(A)=m_++m_-=2m_+ ,$$qui est pair. $\blacksquare$