A matrix of even rank

Let $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ satisfy $A^3=A^2-A$ . Show that $\operatorname{rank}(A)$ is even.

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Solution by visitorFR

Le polynôme $P=X^{3}-X^{2}+X=X(X^{2}-X+1)$ annule $A$ . Ses racines complexes sont
$0,\qquad j'=e^{i\pi/3}=\frac{1+i\sqrt3}{2},\qquad \overline{j'}=e^{-i\pi/3},$ deux à deux distinctes : $P$ est scindé à racines simples sur $\mathbb{C}$ , donc $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{C}$ .
Notons $m_0,m_+,m_-$ les multiplicités respectives de $0$ , $j'$ et $\overline{j'}$ . La matrice $A$ étant réelle, $\chi_A\in\mathbb{R}[X]$ et ses racines non réelles sont conjuguées avec la même multiplicité : $m_+=m_-$ .
Comme $A$ est diagonalisable, le rang est le nombre de valeurs propres non nulles comptées avec multiplicité :
$\operatorname{rg}(A)=m_++m_-=2m_+ ,$ qui est pair. $\blacksquare$

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