Matrices de même exponentielle

Soit $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ diagonalisables telles que $\exp(A)=\exp(B)$ . Montrer que $A=B$ .

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Solution by Sequoia

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En passant l’équation à la puissance $p\in\Z$ , on trouve $\exp(pA)=\exp(pB)$ .
Maintenant, $A$ est diagonalisable, ainsi $A=PDP^{-1}$ donc $\exp(pA)=P\exp(pD)P^{-1}$ et donc l’unique racine $q$ -ème diagonale de $\exp(pD)$ possédant les valeurs propres $\exp(\frac{p}{q}\lambda),\lambda\in\mathcal{S}p(A)$ . Ainsi $\exp(\frac{p}{q}A)$ est l’unique racine $q$ -ème de $\exp(pA)$ possédant ces valeurs propres.
On a défini la racine $q$ -ème de manière unique donc on a l’égalité $\exp(\frac{p}{q}A)=\exp(\frac{p}{q}B)$ étant donné qu’on peut faire le même raisonnement pour $B$ .

Finalement, les fonctions $t\longmapsto \exp(tA)$ et $t\longmapsto\exp(tB)$ coïncident sur $\mathbb{Q}$ et sont continues donc elles coïncident partout sur $\R$ . Finalement on a l’égalité $\exp(tA)=\exp(tB)$ que l’on dérive en $0$ pour trouver $A=B$ .

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