Même base, même aire… sommets des triangles sur une parallèle ?

Soient 2 triangles $ABC$ et $BCD$ qui, d’une part, ont une base commune $[BC]$ , et qui, d’autre part, ont la même aire : $\bf[ABC]=[BCD]$

Montrer que les droites $(BC)$ et $(AD)$ sont parallèles.

NB : afin de rester fidèles à l’esprit de la démarche d’Euclide, nous utiliserons les notations $[ABC]$ et $[ABCD]$ pour noter l’aire d’un triangle $ABC$ et l’aire d’un quadrilatère $[ABCD]$ .

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Euclide — Éléments

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Livre 1 - Proposition 39

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Solution by goldfinch

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Nous allons utiliser un raisonnement par l’absurde, en supposant que la droite $(AD)$ n’est pas parallèle à $(BC)$ , et en montrant alors que c’est impossible.

Construisons une parallèle à $(BC)$ passant par A (pour construire cette parallèle, voir le problème Construction d’une droite parallèle à une droite donnée ).
Si la droite $(AD)$ n’est pas parallèle à $(BC)$ , cette nouvelle droite passera soit au-dessus du point D, soit en dessous. Envisageons les deux cas de figure.

$\textbf {La nouvelle droite passe au-dessus de D}$ .

On peut alors positionner un point E à l’intersection entre cette nouvelle droite et $(BD)$ .

Considérons les deux triangles $ABC$ et $BCE$ . Ils ont une base commune $[BC]$ et ils sont construit entre les mêmes parallèles $(BC)$ et $(AE)$ .
Dans cette configuration, nous pouvons montrer que leurs aires sont égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Le sommet d’un triangle a glissé parallèlement à sa base… et l’aire ?), soit : $[ABC]=[BCE]$ .

Or, par hypothèse, nous avons aussi $[ABC]=[BCD]$ , donc on en déduit que $[BCE]=[BCD]$ , ce qui est en contradiction avec le fait que l’aire de BCD est une partie de l’aire de BCE.

$\textbf {La nouvelle droite passe au-dessus de D}$ .

Le raisonnement est exactement le même en construisant un point F à l’intersection entre la nouvelle droite parallèle à $(BC)$ et $(BD)$ . On aboutit à une nouvelle contradiction, analogue à celle ci-dessus, avec l’aire de $BFC$ qui ne peut être à la fois égale à celle de $BCD$ , et en même temps être une partie de l’aire de $BDC$ .

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