Même base, mêmes côtés... deux sommets possibles pour le triangle ?

Pour montrer qu’il n’existe qu’un point unique, nous allons supposer l’existence d’un autre point D avec des distances $AD$ et $BD$ identiques à $AC$ et $BC$, et montrer que ceci est impossible.

S’il existait un autre point $D$, différent de $C$, $D$ serait forcément, soit sur une des droites $AC$ ou $BC$, soit à l’intérieur du triangle $ABC$, soit à l’extérieur du triangle $ABC$. Examinons successivement ces trois cas.

1. Cas où $D$ se trouve sur un des deux segments $AC$ ou $BC$.
   Prenons par exemple le cas de « $D$ sur $AC$ » (l’autre situation peut être traitée de manière identique).

Cette situation est impossible vu que $D$ ne peut être à la fois intérieur à $AC$ et vérifier $AD=AC$

2. Cas où $D$ se trouve à l’intérieur du triangle $ABC$ .
   Construisons deux points $E$ et $F$ dans le prolongement de $BC$ et de $BD$

Dans ce cas, nous nous retrouvons avec deux triangles isocèles : $DAC$ isocèle en $A$ (vu que $AD=AC$ par hypothèse) et $DBC$ isocèle en $B$ ($BD=BC$ par hypothèse).
Le triangle isocèle $DAC$ a ses deux angles sur la base $DC$ qui sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?) donc $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (1)

Or l’angle $\widehat {ACD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCE}$ donc $\widehat {ACD}<\widehat {DCE}$ .
Ceci, couplé avec (1) donne :
$\widehat {ADC}<\widehat {DCE}$ (2)

Par ailleurs l’angle $\widehat {CDF}$ est une partie de l’angle $\widehat {ADC}$ donc $\widehat {CDF}<\widehat {ADC}$ , ce qui couplé avec (2) donne
$\widehat {CDF}<\widehat {DCE}$ (3)

Enfin, passons au triangle isocèle $DBC$ . Celui-ci a ses deux angles $\widehat {BDC}$ et $\widehat {BCD}$ égaux mais surtout , ce qui nous intéresse particulièrement ici, ses deux angles sous la base $CD$, soit $\widehat {CDF}$ et $\widehat {DCE}$ sont aussi égaux (voir problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?) , soit $\widehat {CDF}=\widehat {DCE}$ , ce qui est en contradiction avec (3).

3. Cas où $D$ se trouve à l’extérieur du triangle $ABC$ .

Considérons à nouveau les deux triangles : $CAD$ isocèle en $A$ (par définition $AD=AC$) et $CBD$ isocèle en $B$ ($BD=BC$). Là aussi, les angles sur la base de ces deux triangles sont égaux : $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (4) et $\widehat {BDC}=\widehat {BCD}$ (5) .
Or, par construction, l’angle $\widehat {ADC}$ est une partie de l’angle $\widehat {BDC}$ donc $\widehat {ADC}<\widehat {BDC}$ , et l’angle $\widehat {BCD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCA}$ donc $\widehat {BCD}<\widehat {DCA}$ , ce qui est incompatible avec (4) et (5).

Conclusion : les trois cas de figure étudiés sont impossibles donc $D$ ne peut qu’être confondu avec $C$. Il n’existe donc qu’un point unique situé au-dessus de $[AB]$, à deux distances fixées de $A$ et de $B$.