Même base, mêmes côtés... deux sommets possibles pour le triangle ?

Soit un segment $[AB]$ . De ses deux extrémités $A$ et $B$ , on construit deux lignes droites non parallèles se coupant au-dessus de $AB$ , en $C$ .

Montrer que si l’on trace deux autres droites non parallèles à partir de $A$ et $B$ qui se coupent en un point $D$ du même côté de $AB$ , tel que $AD=AC$ et $BD=BC$ , forcément les points $D$ et $C$ sont confondus (autrement dit, au-dessus de $AB$ , il n’existe qu’un point unique $C$ à deux distances données de $A$ et $B$ ).

NB : comme pour d’autres propositions d’Euclide, qui sont toutes construites pas à pas, celle-ci peut dérouter car elle semble évidente. Pour comprendre Euclide, il faut faire l’effort de n’utiliser comme outils qu’une règle non graduée et un compas collapsible, et au niveau du raisonnement de ne rien accepter qui ne soit établi par démonstration (pour creuser ce dernier aspect , voir le problème en géométrie qu’est-ce qui m’autorise à dire que quelque chose est vrai)

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Euclide — Éléments

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Livre 1, théorème 4, proposition 7

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Solution by goldfinch

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Pour montrer qu’il n’existe qu’un point unique, nous allons supposer l’existence d’un autre point D avec des distances $AD$ et $BD$ identiques à $AC$ et $BC$ , et montrer que ceci est impossible.

S’il existait un autre point $D$ , différent de $C$ , $D$ serait forcément, soit sur une des droites $AC$ ou $BC$ , soit à l’intérieur du triangle $ABC$ , soit à l’extérieur du triangle $ABC$ . Examinons successivement ces trois cas.

Cas où $D$ se trouve sur un des deux segments $AC$ ou $BC$ .
Prenons par exemple le cas de « $D$ sur $AC$ » (l’autre situation peut être traitée de manière identique).

Cette situation est impossible vu que $D$ ne peut être à la fois intérieur à $AC$ et vérifier $AD=AC$

Cas où $D$ se trouve à l’intérieur du triangle $ABC$ .
Construisons deux points $E$ et $F$ dans le prolongement de $BC$ et de $BD$

Dans ce cas, nous nous retrouvons avec deux triangles isocèles : $DAC$ isocèle en $A$ (vu que $AD=AC$ par hypothèse) et $DBC$ isocèle en $B$ ( $BD=BC$ par hypothèse).
Le triangle isocèle $DAC$ a ses deux angles sur la base $DC$ qui sont égaux (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?) donc $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (1)

Or l’angle $\widehat {ACD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCE}$ donc $\widehat {ACD}<\widehat {DCE}$ .
Ceci, couplé avec (1) donne :
$\widehat {ADC}<\widehat {DCE}$ (2)

Par ailleurs l’angle $\widehat {CDF}$ est une partie de l’angle $\widehat {ADC}$ donc $\widehat {CDF}<\widehat {ADC}$ , ce qui couplé avec (2) donne
$\widehat {CDF}<\widehat {DCE}$ (3)

Enfin, passons au triangle isocèle $DBC$ . Celui-ci a ses deux angles $\widehat {BDC}$ et $\widehat {BCD}$ égaux mais surtout , ce qui nous intéresse particulièrement ici, ses deux angles sous la base $CD$ , soit $\widehat {CDF}$ et $\widehat {DCE}$ sont aussi égaux (voir problème Un triangle avec deux côtés égaux ... et les angles ?) , soit $\widehat {CDF}=\widehat {DCE}$ , ce qui est en contradiction avec (3).

Cas où $D$ se trouve à l’extérieur du triangle $ABC$ .

Considérons à nouveau les deux triangles : $CAD$ isocèle en $A$ (par définition $AD=AC$ ) et $CBD$ isocèle en $B$ ( $BD=BC$ ). Là aussi, les angles sur la base de ces deux triangles sont égaux : $\widehat {ADC}=\widehat {ACD}$ (4) et $\widehat {BDC}=\widehat {BCD}$ (5) .
Or, par construction, l’angle $\widehat {ADC}$ est une partie de l’angle $\widehat {BDC}$ donc $\widehat {ADC}<\widehat {BDC}$ , et l’angle $\widehat {BCD}$ est une partie de l’angle $\widehat {DCA}$ donc $\widehat {BCD}<\widehat {DCA}$ , ce qui est incompatible avec (4) et (5).

Conclusion : les trois cas de figure étudiés sont impossibles donc $D$ ne peut qu’être confondu avec $C$ . Il n’existe donc qu’un point unique situé au-dessus de $[AB]$ , à deux distances fixées de $A$ et de $B$ .

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