Mêmes parallèles, bases égales ... même aire des parallélogrammes ?

Le mouvement général de la démonstration consiste à utiliser un parallélogramme intermédiaire, $BEFC$, comme passerelle pour montrer l’égalité entre les deux aires des deux parallélogrammes de l’énoncé.

Considérons d’abord le parallélogramme $EFHG$. Nous pouvons montrer que dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme coupé en deux), soit : $\bf GH=EF$ (1)

Comme, par ailleurs, les bases des deux parallélogrammes ont même longueur $\bf GH=BC$, avec (1), nous en déduisons : $\bf EF=BC$ (2)

Par hypothèse les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles, ce qui, couplé avec (2) permet de conclure que $BE=CF$ et d’autre part que $(BC)$ et $(EF)$ sont parallèles (pour la démonstration de ce point, voir le problème Deux segments égaux et parallèles... naissance du parallélogramme ?).
$EBCF$ est donc bien un parallélogramme aussi.

Le parallélogramme $EBCF$ a une base commune $[BC]$ avec le parallélogramme $ABCD$ et il est construit entre les mêmes parallèles : les aires des deux parallélogrammes sont donc égales (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme cisaillé conserve-t-il son aire ?), soit : $\bf [ABCD]=[EFCB]$ (3)

Enfin, le parallélogramme $EFHG$ et le parallélogramme $EFCB$ ont eux aussi une base commune $[EF]$ et sont construits entre les mêmes parallèles, par hypothèse. Donc, là aussi, nous pouvons prouver de la même façon que les deux parallélogrammes ont la même aire (pour la démonstration de ce point, voir le problème Un parallélogramme cisaillé conserve-t-il son aire ?), soit : $\bf [EFCB]=[EFHG]$ (4)

Le couplage de (3) et (4) nous donne : $\bf [ABCD]=[EFHG]$ , ce qu’il fallait démontrer.