$n$ points on the unit circle

Je propose une solution dont je ne suis pas certain à 100%. N’hésitez pas à me corriger si besoin !!
On identifie $\mathbb{R}^{2}$ à $\mathbb{C}$ et note $a_{1},\dots,a_{n}$ les complexes correspondant aux points $A_{1},\dots,A_{n}$. On pose $f\colon z\in \overline{\mathbb{B}}(0,1)=\set{z\in\mathbb{C}, |z|\leq 1}\longrightarrow (z-a_{1})\cdots(z-a_{n})$ qui est holomorphe car polynômiale. Par définition, $|f(0)|=1$ et $\forall 1\leq k\leq n, f(a_{k})=0$. Par le principe du maximum le module maximal de $f$ est atteint ($f$ continue sur un compact) car sur le bord de son domaine de définition, donc sur $\mathbb{S}(0,1)$, le cercle trigonométrique. Il existe donc $z_{0}$ de module $1$ tel que $|f(z_{0})| \geq |f(0)|=1$. L’image de $\mathbb{S}(0,1)$ par $|f|$ étant un connexe de $\mathbb{R}$ contenant $0$ et $|f(z_{0})|\geq 1$ elle contient $1.$ C’est à dire qu’il existe $z$ de module $1$ tel que
$$|z-a_{1}|\times\cdots\times |z-a_{n}|=1.$$