On peut calculer les sommes de signature ???

1. En reprenant la formule du déterminant de la première indication, on remarque qu’on nous demande simplement de calculer le déterminant de la matrice avec des $1$ partout (on prend tous les $a_{i,\sigma(i)}$ égaux à $1$). Mais cette matrice n’est clairement pas inversible car de rang $1$ (toutes les colonnes sont égales) donc $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma)=0$. On notera le cas particulier $n=1$ qui donne $1$ pour résultat (car la seule permutation de taille $1$ est l’identité, de signature $1$).

2. Notons $\Delta_n$ notre déterminant. On va alors réaliser différentes combinaisons avec les colonnes pour le calculer, ce qui est bien possible car le déterminant est invariant par ce type d’opération. Notons alors $C_1,\dots, C_n$ les colonnes de notre matrice.

En retirant $C_1$ à toutes les colonnes $C_i,i\geqslant 2$ on trouve que:
$$\Delta_n=\begin{vmatrix} 0 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & -1 & & (0)\\ \vdots & & \ddots & \\ 1 & (0) & & -1 \end{vmatrix}$$Il ne reste plus qu’à ajouter toutes les colonnes $C_{i}, i\geqslant2$ à $C_1$, ce qui donne:
$$\Delta_n=\begin{vmatrix} n-1 & 1 & \dots & 1 \\ & -1 & & (0)\\ & & \ddots & \\ (0) & & & -1 \end{vmatrix}$$On tombe ainsi sur une matrice triangulaire supérieure, dont il est facile de calculer le déterminant: c’est le produit des éléments sur la diagonale. Ainsi $\Delta_n=(-1)^{n-1}(n-1)$.

3. On voit encore apparaître la forme d’un déterminant. Mais ici on somme sur des dérangements donc le produit $\prod_{i}a_{i,\sigma(i)}$ est nul si, et seulement si, $\sigma$ n’est pas un dérangement, soit s’il admet un point fixe.
   Ainsi cela se transcrit par l’annulation de tous les coefficients diagonaux $a_{j,j}$. Et si $\sigma$ est un dérangement alors le produit vaut $1$ donc on prend tous les autres coefficients égaux à $1$.

Mais alors on retrouve le déterminant de notre matrice de la question $2)$ ! On conclut donc que notre somme est égale à son déterminant, ce qui donne le résultat.