One of them is invertible

La matrice $A^{-1}J$ est de rang au plus $1$ car $J$ est de rang $1$ (donc chaque élément de son noyau est en particulier un élément du noyau de $A^{-1}J$).
Ainsi il ne reste plus qu’une place pour une valeur propre de cette matrice, disons donc que $1$ n’est pas valeur propre (cela peut aussi être $-1$.

Ainsi la matrice $A^{-1}J-I_n$ est inversible donc, en multipliant par $A$, on trouve que $A-J$ est inversible. Ce qui conclut.

Soit $t \neq 0$ et supposons $A + t J$ singulière. Il existe $x \in \mathbb{R}^{n} \backslash \{0\}$ tel que $(A + t J) x = 0$. En écrivant $J = 1_{n} 1_{n}^{T}$, avec $1_{n} \in \mathbb{R}^{n}$ le vecteur dont tous les coefficients sont égaux à $1$, on obtient $A x + t \langle 1_{n}, x\rangle 1_{n} = 0$. En appliquant $A^{-1}$ à l’égalité ci-dessus, on obtient $x + t \langle 1_{n}, x\rangle A^{-1} 1_{n} = 0$. En prenant le produit scalaire contre le vecteur $1_{n}$, on arrive à $\langle 1_{n}, x\rangle(1 + t \langle 1_{n}, A^{-1}, 1_{n}\rangle) = 0$. Si$\langle 1_{n}, x\rangle = 0$, alors le fait que $A x + t \langle 1_{n}, x\rangle 1_{n} = 0$ donne $A x = 0$. Comme $A$ est inversible, on en déduit $x = 0$, ce qui est absurde. Donc $\langle 1_{n}, x\rangle \neq 0$ et $\langle 1_{n}, A^{-1} 1_{n}\rangle = -t^{-1}$.

Le raisonnement ci-dessus appliqué à $t = \pm 1$ donne la contradiction $\langle 1_{n}, A^{-1} 1_{n}\rangle = 1$ et $\langle 1_{n}, A^{-1} 1_{n}\rangle = -1$.